Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3\).

Odpowiedź:      

\(x=-2\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń. Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu: $$x-3\neq0 \           ,\ x\neq3$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tego równania wymiernego, zatem wymnażając obydwie strony przez \(x-3\) otrzymamy: $$\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3 \quad\bigg/\cdot(x-3) \           ,\ 3x^2-8x-3=(x-3)\cdot(x-3) \           ,\ 3x^2-8x-3=x^2-6x+9 \           ,\ 2x^2-2x-12=0 \quad\bigg/:2 \           ,\ x^2-x-6=0$$ (Podzielenie obu stron przez 2 nie jest koniecznością, ale dzięki temu działać będziemy na mniejszych liczbach). Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy je rozwiązać korzystając tradycyjnie z delty: Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\) $$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=1+24=25 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$ Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników. Otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(x=-2\) oraz \(x=3\). Niestety wynik \(x=3\) musimy odrzucić ze względu na założenia, które zapisaliśmy na początku tego zadania. W związku z tym jedynym poprawnym rozwiązaniem tego równania będzie \(x=-2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania