Liczby \(x\), \(y\), \(19\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).

Odpowiedź:      

\(x=-1\) oraz \(y=9\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu. Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności: $$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$ W związku z tym: $$a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \           ,\ a_{2}=\frac{a_{1}+a{3}}{2} \           ,\ y=\frac{x+19}{2}$$ Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań. Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie \(x+y=8\) z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości \(x\) oraz \(y\): \begin{cases} y=\frac{x+19}{2} \           ,\ x+y=8 \end{cases} Krok 3. Rozwiązanie układu równań. Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość \(y\). Zatem podstawiając \(y=\frac{x+19}{2}\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy: $$x+\frac{x+19}{2}=8 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ 2x+x+19=16 \           ,\ 3x=-3 \           ,\ x=-1$$ Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość \(y\) i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania: $$x+y=8 \           ,\ -1+y=8 \           ,\ y=9$$

Teoria:      
W trakcie opracowania