Uzasadnij, że jeżeli \(a+b=1\) i \(a^2+b^2=7\), to \(a^4+b^4=31\).

Odpowiedź:      

Udowodniliśmy twierdzenie wykorzystując do tego wzory skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Zadanie wymaga od nas sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, a kluczem do sukcesu jest tak naprawdę to, aby wpaść na pomysł jak powiązać ze sobą wszystkie informacje z treści zadania. Krok 1. Rozpisanie wartości \(a^4+b^4\) przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy możemy zapisać, że: $$(a^2+b^2)^2=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$$ To oznacza, że: $$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$$ Wartość \(a^2+b^2\) jest równa \(7\), a więc: $$a^4+b^4=7^2-2a^2b^2 \           ,\ a^4+b^4=49-2a^2b^2$$ Gdyby teraz udało nam się udowodnić, że \(2a^2b^2\) jest równe \(18\), to otrzymalibyśmy działanie \(49-18\), czyli \(31\), co zakończyłoby dowód. Krok 2. Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(a+b\) i obliczenie wartości \(2a^2b^2\). $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ Z treści zadania wiemy, że \(a+b=1\) oraz że \(a^2+b^2=7\), co po podstawieniu do tego wzoru da nam: $$1^2=7+2ab \           ,\ 2ab=-6$$ Jesteśmy już bardzo blisko końcowego rozwiązania, bo skoro \(2ab=-6\), to podnosząc obie strony do potęgi drugiej otrzymamy: $$4a^2b^2=36 \quad\bigg/:2 \           ,\ 2a^2b^2=18$$ Krok 3. Zakończenie dowodu. Znamy wartość \(2a^2b^2\), więc podstawiając ją do wzoru z pierwszego kroku otrzymamy: $$a^4+b^4=49-2a^2b^2 \           ,\ a^4+b^4=49-18=31$$ Ostatecznie udowodniliśmy, że wartość \(a^4+b^4\) jest faktycznie równa \(31\).

Teoria:      
W trakcie opracowania