Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

A \(\sqrt{6}\)
B \(3\)
C \(9\)
D \(3\sqrt{3}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu. Znamy pole całkowite sześcianu, wiemy że sześcian ma sześć ścian, a więc każda ze ścian ma powierzchnię równą: $$54:6=9$$ Wiemy już, że każda z tych ścian jest kwadratem o polu powierzchni równym \(9\), a więc długość krawędzi sześcianu jest równa: $$a^2=9 \           ,\ a=3 \quad\lor\quad a=-3$$ Wartość \(a=-3\) musimy oczywiście odrzucić, bo długość boku nie może być ujemna. Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu. Długość przekątnej sześcianu możemy opisać wzorem \(s=a\sqrt{3}\). To znaczy, że nasz sześcian ma przekątną równą \(s=3\sqrt{3}\). Jeżeli nie pamiętasz tego wzoru, to możesz długość przekątnej sześcianu wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi będą krawędź boczna, czyli \(a=3\) oraz przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(d=3\sqrt{2}\). Przeciwprostokątną będzie wtedy poszukiwana przez nas przekątna sześcianu: $$3^2+(3\sqrt{2})^2=s^2 \           ,\ 9+9\cdot2=s^2 \           ,\ 9+18=s^2 \           ,\ s^2=27 \           ,\ s=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania