Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \(\frac{2x+4}{x-2}=2x+1\).

Odpowiedź:      

Udowodniono rozwiązując równanie kwadratowe.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń. Zanim przystąpimy do obliczeń musimy sobie zapisać założenia do tego równania, które wynikają z tego, że mianownik ułamka nie może być równy zero. Zatem: $$x-2\neq0 \           ,\ x\neq2$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Możemy już przystąpić do obliczeń. Najprościej będzie zacząć obliczenia od wymnożenia obu stron przez wartość \((x-2)\), pozbywając się w ten sposób ułamka: $$\frac{2x+4}{x-2}=2x+1 \quad\bigg/\cdot (x-2) \           ,\ 2x+4=(2x+1)\cdot(x-2) \           ,\ 2x+4=2x^2-4x+x-2 \           ,\ 2x+4=2x^2-3x-2 \           ,\ -2x^2+5x+6=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. To równanie możemy rozwiązać za pomocą metody delty: Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=6\) $$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot6=25-(-48)=25+48=73 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{73}$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5-\sqrt{73}}{-4}=\frac{5+\sqrt{73}}{4} \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5+\sqrt{73}}{-4}=\frac{5-\sqrt{73}}{4}$$ Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników. Obydwa rozwiązania tego równania są jak najbardziej poprawne (nie wykluczają się z naszymi założeniami z pierwszego kroku). Naszym zadaniem jest jednak udowodnić, że to równanie nie ma żadnych CAŁKOWITYCH rozwiązań i rzeczywiście tak jest, bo obydwie otrzymane liczby nie są całkowite. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Teoria:      
W trakcie opracowania