W trapezie \(ABCD\) (\(AB||CD\)) przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\) takim, że \(|AO|:|OC|=5:1\). Pole trójkąta \(AOD\) jest równe \(10\). Uzasadnij, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(72\).

Odpowiedź:      

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów podobnych.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie pola trójkąta \(OCD\) oraz \(ACD\). Spójrzmy na trójkąt \(ACD\), możemy go sobie nawet wyodrębnić z całego rysunku i naszkicować: Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(OCD\) (którego pola powierzchni szukamy), to byłoby to: $$P_{OCD}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h \           ,\ P_{OCD}=0,5x\cdot h$$ Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(AOD\) (którego pole powierzchni znamy), to byłoby to: $$P_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot5x\cdot h \           ,\ P_{AOD}=2,5x\cdot h$$ Widzimy wyraźnie, że pole trójkąta \(AOD\) jest pięciokrotnie większe od trójkąta \(OCD\). Skoro więc \(P_{AOD}=10\), to \(P_{OCD}=10:5=2\). Tym samym możemy wyznaczyć pole trójkąta \(ACD\): $$P_{ACD}=P_{AOD}+P_{OCD}=10+2=12$$ Krok 2. Ustalenie podobieństwa trójkątów \(ABO\) i \(OCD\). Musimy zauważyć, że trójkąty \(ABO\) i \(OCD\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skąd to wiemy? \(|\sphericalangle AOB|=|\sphericalangle DOC| \Rightarrow\) kąty wierzchołkowe \(|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle DCA| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe \(|\sphericalangle ABD|=|\sphericalangle CDB| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe Ale to nie wszystko, bo znamy też skalę podobieństwa tych trójkątów. Skoro odcinek \(AO\) jest pieć razy dłuższy od odcinka \(OC\), to skala podobieństwa wynosi \(k=5\). Z własności figur podobnych wiemy, że jeśli boki pierwszej figury podobnej są \(k\) razy większe od boków figury drugiej, to pole powierzchni pierwszej figury jest \(k^2\) większe. W naszym przypadku oznaczać to będzie, że pole trójkąta \(ABO\) jest \(5^2=25\) razy większe od pola trójkąta \(OCD\), czyli: $$P_{ABO}=25\cdot2=50$$ Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(OBC\). Spójrzmy na duże trójkąty \(ABD\) oraz \(ABC\). Ich miary pól powierzchni muszą być sobie równe, bo obydwa trójkąty mają tą samą podstawę \(|AB|\) oraz tą samą wysokość (która jest wysokością trapezu). Pole trójkąta \(ABD\) możemy obliczyć bardzo szybko: $$P_{ABD}=P_{ABO}+P_{AOD} \           ,\ P_{ABD}=50+10 \           ,\ P_{ABD}=60$$ Skoro tak, to także \(P_{ABC}=60\), zatem możemy wyznaczyć pole trójkąta \(OBC\): $$P_{ABC}=P_{ABO}+P_{OBC} \           ,\ 60=50+P_{OBC} \           ,\ P_{OBC}=10$$ Krok 4. Obliczenie pola trapezu. Obliczyliśmy wartości czterech mniejszych trójkątów wchodzących w skład trapezu, więc pole trapezu będzie sumą naszych wszystkich wyników: $$P_{ABCD}=P_{ABO}+P_{AOD}+P_{OBC}+P_{OCD} \           ,\ P_{ABCD}=50+10+10+2 \           ,\ P_{ABCD}=72$$ Wynik wyszedł nam taki sam jak w treści zadania, tak więc dowód możemy uznać za zakończony.

Teoria:      
W trakcie opracowania