W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach

$$k:\quad y=\frac{2}{3}x \           ,\

l:\quad y=-\frac{3}{2}x+13$$



Proste \(k\) oraz \(l\):

Odpowiedź:      

A., ponieważ 2

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie, czy proste są prostopadłe. Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). W naszym przypadku współczynniki \(a\) mają wartość \(\frac{2}{3}\) oraz \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn tych dwóch liczb jest równy: $$\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$ To oznacza, że proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe. Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostych. Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać miejsce przecięcia się prostych wystarczy rozwiązać następujący układ równań: $$\begin{cases} y=\frac{2}{3}x \           ,\ y=-\frac{3}{2}x+13 \end{cases}$$ Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy: $$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13 \           ,\ \frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13 \           ,\ \frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13 \           ,\ \frac{13}{6}x=13 \quad\bigg/\cdot\frac{6}{13} \           ,\ x=6$$ Wiemy już, że \(x=6\) (co swoją drogą wystarczy już do wybrania prawidłowej odpowiedzi). Chcąc poznać jeszcze współrzędną \(y\) punktu przecięcia wystarczy podstawić wyznaczone \(x=6\) do jednego z równań (np. \(y=\frac{2}{3}x\)), zatem: $$y=\frac{2}{3}\cdot6 \           ,\ y=4$$ To oznacza, że miejscem przecięcia się tych prostych jest punkt o współrzędnych \((6;4)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania