W rombie o boku długości \(6\sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę \(150°\). Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy:

A \(24\)
B \(72\)
C \(36\)
D \(36\sqrt{2}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości \(sin150°\). Za chwilę korzystając ze wzoru na pole rombu będziemy potrzebować wartości \(sin150°\), zatem obliczmy ją już teraz. Jest to kluczowa trudność w tym zadaniu, bo w tablicach trygonometrycznych znajdziemy wartości funkcji dla katów od \(0°\) do \(90°\). Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych możemy obliczyć korzystając z jednego ze wzorów redukcyjnych. W naszym przypadku świetnie sprawdzi się wzór \(sin(90°+\alpha)=cos\alpha\). Korzystając z niego, możemy zapisać, że: $$sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$ Z tablic odczytujemy teraz, że \(cos60°=\frac{1}{2}\), zatem tym samym \(sin150°=\frac{1}{2}\). Krok 2. Obliczenie pola powierzchni rombu. W tym zadaniu możemy skorzystać ze "wzoru na pole rombu z sinusem", czyli: $$P=a^2\cdot sin\alpha$$ Podstawiając znane nam dane, otrzymamy: $$P=(6\sqrt{2})^2\cdot sin150° \           ,\ P=36\cdot2\cdot\frac{1}{2} \           ,\ P=36$$ Krok 3. Obliczenie iloczynu długości przekątnych rombu. Standardowo pole rombu wyliczamy ze wzoru: $$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$$ Interesuje nas poznanie wartości iloczynu \(e\cdot f\), zatem podstawiając wyliczone przed chwilą \(P=36\), możemy zapisać, że: $$36=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \           ,\ e\cdot f=72$$

Teoria:      
W trakcie opracowania