Trójkąty prostokątne \(T_{1}\) i \(T_{2}\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_{1}\) mają długości \(5\) i \(12\). Przeciwprostokątna trójkąta \(T_{2}\) ma długość \(26\). Oblicz pole trójkąta \(T_{2}\). Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:      

\(P=120\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(T_{1}\). Z treści zadania wynika, że trójkąt \(T_{1}\) ma przyprostokątne o długości \(5\) i \(12\), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej: $$5^2+12^2=c^2 \           ,\ 25+144=c^2 \           ,\ c^2=169 \           ,\ c=13 \quad\lor\quad c=-13$$ Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku jest dodatnia, zatem zostaje nam \(c=13\). Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa. Z treści zadania wynika, że drugi trójkąt \(T_{2}\) ma przeciwprostokątną o długości \(26\), czyli ma przeciwprostokątną dwa razy dłuższą od trójkąta \(T_{1}\). To oznacza, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi \(k=2\). Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(T_{2}\). Obliczmy najpierw pole trójkąta \(T_{1}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że: $$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \           ,\ P=30$$ Zgodnie z własnościami trójkątów podobnych, jeśli skala podobieństwa figur jest równa \(k\) to pole powierzchni figury podobnej będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku oznaczałoby to, że pole trójkąta \(T_{2}\) będzie \(4\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\), zatem: $$P=4\cdot30 \           ,\ P=120$$

Teoria:      
W trakcie opracowania