Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(α\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45°\) (zobacz rysunek).





Wysokość graniastosłupa jest równa:

A \(5\)
B \(3\sqrt{2}\)
C \(5\sqrt{2}\)
D \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Skąd wiemy, że kąt \(DHB\) ma miarę \(45°\)? Skoro kąt \(α\) ma miarę \(45°\), a trójkąt \(DBH\) jest trójkątem prostokątnym, to znaczy że drugi kąt ostry w zaznaczonym trójkącie musi mieć także \(45°\). To z kolei oznacza, że trójkąt \(DBH\) jest równoramienny. Krok 2. Oblicznie wysokości graniastosłupa. Trójkąt \(DBH\) jest trójkątem równoramiennym, zatem \(|DB|=|DH|\). Długość odcinka \(DB\) (czyli przekątnej podstawy) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa: $$3^2+4^2=|DB|^2 \           ,\ 9+16=|DB|^2 \           ,\ |DB|^2=25 \           ,\ |DB|=5 \quad\lor\quad |DB|=-5$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. To oznacza, że \(|DB|=5\), czyli wysokość graniastosłupa ma także długość równą \(h=5\).

Teoria:      
W trakcie opracowania