W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Odpowiedź:      

\(C=(6,4;15,8)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\). Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\). Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że: $$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{6^2+2^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{36+4} \           ,\ |AB|=\sqrt{40}$$ Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\). Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\). $$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \           ,\ |BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2} \           ,\ |BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$ Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać. Krok 4. Obliczenie długości boku \(AC\). I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\). $$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \           ,\ |AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2} \           ,\ |AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$ Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\). Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym: $$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \           ,\ (\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2 \           ,\ 40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2 \           ,\ 40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2 \           ,\ 5x^2-28x+144=5x^2-8x+16 \           ,\ -28x+144=-8x+16 \           ,\ -20x=-128 \           ,\ x=6,4$$ Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\). Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\): $$y=2x+3 \           ,\ y=2\cdot6,4+3 \           ,\ y=12,8+3 \           ,\ y=15,8$$ To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania