Dany jest ciąg geometryczny \(a_{n}\) , określony dla \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:

A \(\frac{1}{3}\)
B \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
C \(3\)
D \(\sqrt{3}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Do zadania możemy podejść na wiele różnych sposobów (dojdziemy nawet do poprawnej odpowiedzi, kiedy założymy sobie że trzeci wyraz jest równy \(9\), a piąty jest równy \(1\), choć w rzeczywistości tak wcale być nie musi). Najlepszym sposobem będzie rozpisanie sobie lewej strony równania w ten sposób: $$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{3}\cdot q^2}{a_{3}}=q^2$$ Z treści zadania wynika, że to co nam wyszło musi być równe \(\frac{1}{9}\), zatem: $$q^2=\frac{1}{9} \           ,\ q=\frac{1}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{3}$$ Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo gdyby \(q\) było ujemne to nasz ciąg nie miałby wszystkich wyrazów dodatnich. W związku z tym \(q=\frac{1}{3}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania