Zmiana podstawy logarytmu

Krok 1. Przekształcenie liczby \(b\).

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu:

\(b=\log_{\sqrt{2}}27=\frac{\log_2 27}{\log_2\sqrt{2}}=\frac{\log_2 27}{\frac{1}{2}}=2\log_2 27\)

Zatem:

\(b+2=2\log_2 27+2=2\left(\log_2 27+1\right)=2\left(\log_2 27+\log_2 2\right)=2\log_2 54\)

Krok 2. Przekształcenie liczby \(a\).

\(a=\log_2 14=\log_2(2\cdot 7)=\log_2 2+\log_2 7=1+\log_2 7\)

Zatem:

\(2a-2=2\left(1+\log_2 7\right)-2=2\log_2 7\)

Krok 3. Iloraz.

\(\frac{b+2}{2a-2}=\frac{2\log_2 54}{2\log_2 7}=\frac{\log_2 54}{\log_2 7}\)

Ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu \(\frac{\log_2 54}{\log_2 7}=\log_7 54\), co należało wykazać.

Uwaga: mianownik jest różny od zera, bo \(\log_2 7\neq 0\). \(\blacksquare\)

1. Krok 1. Zamiana podstawy na $4$. $$\log_{12}80=\frac{\log_{4}80}{\log_{4}12}.$$
2. Krok 2. Licznik $\log_{4}80$.

   $80=16\cdot 5$, więc $\log_{4}80=\log_{4}16+\log_{4}5=2+\log_{4}5$. Ponieważ $\log_{4}5=\dfrac{1}{\log_{5}4}=\dfrac{1}{a}$:

   $$\log_{4}80=2+\frac{1}{a}=\frac{2a+1}{a}.$$
3. Krok 3. Mianownik $\log_{4}12$. $$\log_{4}12=\log_{4}(4\cdot 3)=\log_{4}4+\log_{4}3=1+b.$$
4. Krok 4. Iloraz. $$\log_{12}80=\frac{\frac{2a+1}{a}}{1+b}=\frac{2a+1}{a\,(1+b)}.\qquad\blacksquare$$

1. Krok 1. Przekształcenie składnika $81^{\log_{3}x}$.

   Ponieważ $81=3^{4}$, korzystamy z $\left(a^{m}\right)^{n}=\left(a^{n}\right)^{m}$ oraz $3^{\log_{3}x}=x$:

   $$81^{\log_{3}x}=\left(3^{4}\right)^{\log_{3}x}=\left(3^{\log_{3}x}\right)^{4}=x^{4}.$$
2. Krok 2. Współczynnik przy $x^{2}$.

   $\log_{2}\sqrt{27}=\log_{2}27^{1/2}=\tfrac12\log_{2}3^{3}=\tfrac{3}{2}\log_{2}3$. Stąd

   $$\frac{2\log_{2}\sqrt{27}\cdot\log_{3}2}{3}=\frac{2\cdot\frac{3}{2}\log_{2}3\cdot\log_{3}2}{3}=\log_{2}3\cdot\log_{3}2.$$

   Z zależności $\log_{2}3\cdot\log_{3}2=1$ (odwrotność przy zamianie podstawy) współczynnik ten jest równy $1$.

3. Krok 3. Złożenie. $$f(x)=x^{4}+1\cdot x^{2}-6x=x^{4}+x^{2}-6x.\qquad\blacksquare$$

Krok 1. Obliczenie liczby \(a\).

\(a=4^{\log_2 45}=\left(2^2\right)^{\log_2 45}=2^{2\log_2 45}=2^{\log_2 45^2}=45^2=2025\)

Krok 2. Obliczenie liczby \(b\).

Zamieniamy logarytm z mianownika na podstawę \(3\):

\(\log_9 2023=\frac{\log_3 2023}{\log_3 9}=\frac{\log_3 2023}{2}\)

Zatem:

\(b=\frac{\log_3 2023}{\frac{\log_3 2023}{2}}=2\)

Krok 3. Różnica.

\(a-b=2025-2=2023\)

Odpowiedź: \(a-b=2023\)

Zapisujemy oba pierwiastki jako potęgi liczby $3$:

$$\sqrt{27}=27^{\frac12}=\left(3^3\right)^{\frac12}=3^{\frac32},\qquad \sqrt{3}=3^{\frac12}.$$

Stąd pierwszy logarytm wynosi $\log_3 3^{\frac32}=\frac32$.

Drugi obliczamy ze wzoru na zamianę podstawy, bo $27=3^3$:

$$\log_{27}\sqrt{3}=\frac{\log_3 3^{\frac12}}{\log_3 3^3}=\frac{\frac12}{3}=\frac16.$$

Różnica: $$\frac32-\frac16=\frac96-\frac16=\frac86=\frac43.$$

Odpowiedź: A

Zamieniamy logarytm na podstawę \(5\):

\(\log_{18}40=\frac{\log_5 40}{\log_5 18}\)

Licznik:

\(\log_5 40=\log_5\left(2^3\cdot 5\right)=3\log_5 2+\log_5 5=3a+1\)

Mianownik:

\(\log_5 18=\log_5\left(2\cdot 3^2\right)=\log_5 2+2\log_5 3=a+2b\)

Zatem:

\(\log_{18}40=\frac{3a+1}{a+2b}=\frac{3a+1}{2b+a}\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Rozbicie liczby 18. Ponieważ $18=2\cdot 3^{2}$, korzystamy z własności logarytmu iloczynu i potęgi:

$$c=\log_{2}18=\log_{2}\left(2\cdot 3^{2}\right)=\log_{2}2+\log_{2}3^{2}=1+2\log_{2}3.$$

Krok 2. Wyznaczenie $\log_{2}3$.

$$2\log_{2}3=c-1\ \Longrightarrow\ \log_{2}3=\frac{c-1}{2}.$$

Krok 3. Przejście do $\log_{3}4$. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy oraz $4=2^{2}$:

$$\log_{3}4=\log_{3}2^{2}=2\log_{3}2=\frac{2}{\log_{2}3}.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$\log_{3}4=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=\frac{4}{c-1},$$

co należało wykazać. $\blacksquare$

Uwaga: $\log_{2}3>0$, więc $c=1+2\log_{2}3>1$ i mianownik $c-1$ jest różny od zera.

Krok 1. Wyznaczenie \(\log_2 3\).

\(c=\log_2 9=\log_2 3^2=2\log_2 3\)

\(\log_2 3=\frac{c}{2}\)

(zauważmy, że \(c\neq 0\))

Krok 2. Zamiana podstawy logarytmu.

\(\log_3 54=\frac{\log_2 54}{\log_2 3}\)

Krok 3. Rozbicie licznika.

\(\log_2 54=\log_2\left(2\cdot 27\right)=\log_2 2+\log_2 3^3=1+3\log_2 3=1+3\cdot\frac{c}{2}=\frac{2+3c}{2}\)

Krok 4. Iloraz.

\(\log_3 54=\frac{\frac{2+3c}{2}}{\frac{c}{2}}=\frac{2+3c}{c}=\frac{3c+2}{c}\)

co należało wykazać. \(\blacksquare\)

Krok 1. Odwrotność logarytmu. Korzystamy z tożsamości $\frac{1}{\log_{a}b}=\log_{b}a$:

$$\frac{1}{\log_{20}5}=\log_{5}20.$$

Krok 2. Pierwszy składnik. Ze wzoru na logarytm potęgi:

$$2\log_{5}10=\log_{5}10^{2}=\log_{5}100.$$

Krok 3. Różnica logarytmów.

$$\log_{5}100-\log_{5}20=\log_{5}\frac{100}{20}=\log_{5}5=1.$$

Odpowiedź: C

Obliczamy kolejne czynniki, sprowadzając logarytmy do podstawy \(2\) lub \(3\).

Pierwszy czynnik:

\(\log_{\sqrt{2}}2=\frac{\log_2 2}{\log_2\sqrt{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)

Drugi czynnik:

\(\log_2\sqrt{3}=\frac{1}{2}\log_2 3\)

Trzeci czynnik:

\(\log_{\sqrt{3}}4=\frac{\log_3 4}{\log_3\sqrt{3}}=\frac{2\log_3 2}{\frac{1}{2}}=4\log_3 2\)

Iloczyn:

\(L=2\cdot\frac{1}{2}\log_2 3\cdot 4\log_3 2=4\cdot\log_2 3\cdot\log_3 2\)

Ponieważ \(\log_2 3\cdot\log_3 2=1\) (logarytmy wzajemnie odwrotne):

\(L=4\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Sprowadzenie do wspólnej podstawy.

\(\log_4 25=\frac{\log_2 25}{\log_2 4}=\frac{\log_2 5^2}{2}=\frac{2\log_2 5}{2}=\log_2 5\)

Krok 2. Suma logarytmów.

\(\log_2 5+\log_2 10=\log_2(5\cdot 10)=\log_2 50\)

Odpowiedź: B.

Krok 1. Przekształcenie lewej strony.

\(\log_6 64=\log_6 2^6=6\log_6 2\)

Zamieniamy podstawę logarytmu na \(12\):

\(\log_6 2=\frac{\log_{12}2}{\log_{12}6}=\frac{a}{\log_{12}6}\)

Krok 2. Obliczenie \(\log_{12}6\).

\(\log_{12}6=\log_{12}\frac{12}{2}=\log_{12}12-\log_{12}2=1-a\)

Krok 3. Podstawienie.

\(\log_6 64=6\cdot\frac{a}{1-a}=\frac{6a}{1-a}\)

co należało wykazać.

Uwaga: mianownik jest różny od zera, ponieważ \(a=\log_{12}2\neq 1\) (bo \(2\neq 12\)). \(\blacksquare\)

a) Wyznaczenie $p$. Funkcja $f(x)=\log_{2}(x-p)$ ma asymptotę pionową o równaniu $x=p$. Z wykresu odczytujemy, że asymptota przechodzi przez $x=-4$, zatem

$$p=-4\qquad\text{i}\qquad f(x)=\log_{2}(x+4).$$

Kontrola z wykresu: $f(-3)=\log_{2}1=0$ ✓ oraz $f(0)=\log_{2}4=2$ ✓

b) Wykres $y=|f(x)|$. Dziedziną jest $x>-4$. Rozpatrujemy dwa przedziały:

• dla $x\ge-3$ mamy $x+4\ge1$, więc $\log_{2}(x+4)\ge0$ i wykres pozostaje bez zmian;

• dla $-4\lt x\lt -3$ mamy $0\lt x+4\lt 1$, więc $\log_{2}(x+4)\lt 0$ — tę część odbijamy symetrycznie względem osi $OX$.

Powstaje wykres w kształcie litery „V" z ramieniem rosnącym od $x=-3$ w prawo oraz ramieniem wznoszącym się do $+\infty$ przy $x\to-4^{+}$; najmniejsza wartość $0$ jest przyjmowana dla $x=-3$.

c) Warunek na $m$. Rozwiązujemy $|\log_{2}(x+4)|=m$. Dla $m>0$ otrzymujemy dwa równania:

$$\log_{2}(x+4)=m\ \Longrightarrow\ x_1=2^{m}-4,$$

$$\log_{2}(x+4)=-m\ \Longrightarrow\ x_2=2^{-m}-4.$$

Znak $x_2$: dla $m>0$ mamy $0\lt 2^{-m}\lt 1$, więc $x_2\in(-4,-3)$ — jest zawsze ujemny.

Znak $x_1$:

$$x_1>0\ \Longleftrightarrow\ 2^{m}>4\ \Longleftrightarrow\ m>2.$$

Dla $m=0$ równanie ma tylko jedno rozwiązanie ($x=-3$), a dla $m\lt 0$ — żadnego.

Kontrola: dla $m=3$: $x_1=4>0$, $x_2=-3{,}875\lt 0$ ✓; dla $m=2$: $x_1=0$ — zero nie ma znaku, więc warunek niespełniony ✓; dla $m=1$: $x_1=-2$ i $x_2=-3{,}5$ — oba ujemne ✓

Odpowiedź: a) $p=-4$;   c) $m\in(2,+\infty)$

Dziedzina. Liczba logarytmowana musi być dodatnia:

\(8x-x^2>0\), czyli \(x(8-x)>0\), skąd \(D_f=(0,8)\).

Najmniejsza wartość. Podstawa logarytmu \(\dfrac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}\) należy do przedziału \((0,1)\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca. Zatem \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą wtedy, gdy wyrażenie \(g(x)=8x-x^2\) osiąga wartość największą.

\(g\) jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), z wierzchołkiem w \(x_0=\dfrac{0+8}{2}=4\):

\(g(4)=32-16=16\).

Stąd

\(f_{\min}=\log_{2^{-\frac12}}16=\dfrac{\log_2 16}{\log_2 2^{-\frac12}}=\dfrac{4}{-\tfrac12}=-8\).

Odpowiedź: \(D_f=(0,8)\), a najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-8\) (dla \(x=4\)).