Klasa 1 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Miara łukowa to stosunek długości łuku do promienia — wielkość bezwymiarowa. Pełny kąt to $2\pi$ radianów:
$$360^\circ=2\pi,\qquad 180^\circ=\pi$$
$$\text{stopnie}\to\text{radiany}:\ \cdot\frac{\pi}{180^\circ},\qquad \text{radiany}\to\text{stopnie}:\ \cdot\frac{180^\circ}{\pi}$$
Warto znać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
$$l=r\alpha,\qquad P=\frac12 r^2\alpha$$
Wzory działają tylko dla kątów w radianach — to główny powód wprowadzenia miary łukowej.
Funkcja jest okresowa o okresie $T$, gdy $f(x+T)=f(x)$. Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dla $y=\sin(bx)$ okres to $\frac{2\pi}{|b|}$.
Cosinus jest parzysty ($\cos(-x)=\cos x$, wykres symetryczny względem osi $OY$), a sinus nieparzysty ($\sin(-x)=-\sin x$, symetryczny względem początku układu).
Wzory $l=r\alpha$ i $P=\frac12 r^2\alpha$ wymagają radianów. Najmniejszy okres dodatni charakteryzuje funkcję — wielokrotności okresu też są okresami.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile radianów ma kąt pełny ($360^\circ$)?
Zamień $90^\circ$ na radiany.
Zamień $\dfrac{\pi}{3}$ radianów na stopnie.
Okres funkcji $y=\sin x$ wynosi:
Zamień $135^\circ$ na radiany.
Okres funkcji $y=\operatorname{tg}x$ wynosi:
Funkcja ma okres $T=2\pi$ i $f(0)=3$. Ile wynosi $f(4\pi)$ i $f(-2\pi)$?
Oblicz długość łuku okręgu o promieniu $6$, na którym wsparty jest kąt środkowy $\dfrac{\pi}{3}$ radiana.
Funkcja $y=\cos x$ jest funkcją:
Wykaż, korzystając z definicji, że $\sin$ jest funkcją nieparzystą, i podaj przykład liczbowy.
Kąt $\dfrac{\pi}{6}$ radiana to:
Funkcja ma okres $T=4$. Wiedząc, że $f(1)=5$, oblicz $f(9)$ i $f(13)$.
Który kąt jest równy $\pi$ radianów?
Sprawdź, czy funkcja $f(x)=x^2$ jest parzysta, nieparzysta, czy żadna.
Funkcja $y=\sin x$ ma najmniejszy okres dodatni równy:
Wyznacz okres funkcji $y=\sin2x$.
Pole wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\alpha$ (w radianach) wyraża się wzorem $P=\frac12 r^2\alpha$. Oblicz pole wycinka o promieniu $4$ i kącie $\frac{3\pi}{4}$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest \(n\) boków i \(n\ge3\) wyraża się wzorem \(P(n)=\dfrac{n(n-3)}{2}\). Wykorzystując ten wzór:
a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym,
b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków,
c) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń:
a) \(A\) — w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek,
b) \(B\) — suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9,
c) \(C\) — suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9.
W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja \(f\) ma następujące własności: jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, \(f\) jest funkcją nieparzystą, \(f\) jest funkcją ciągłą, oraz:
\(f'(x)\lt 0\) dla \(x\in(-8,-3)\), \(f'(x)>0\) dla \(x\in(-3,-1)\), \(f'(x)\lt 0\) dla \(x\in(-1,0)\), \(f'(-3)=f'(-1)=0\), \(f(-8)=0\), \(f(-3)=-2\), \(f(-2)=0\), \(f(-1)=1\).
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-8,8\rangle\), wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.