Start › Klasy › Klasa 1 LO — rozszerzony › Styczna do okręgu

Styczna do okręgu

Klasa 1 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Kąty w okręgu i styczna do okręgu

Kąt środkowy i wpisany

Kąt środkowy oparty na danym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\alpha_{\text{wpisany}}$$

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

Twierdzenie Talesa o okręgu

Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest prosty. To narzędzie do rozpoznawania trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.

Czworokąt wpisany

Przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$. To warunek konieczny i wystarczający wpisania czworokąta w okrąg.

Styczna

Styczna ma z okręgiem jeden punkt wspólny i jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Prosta jest styczna, gdy odległość środka od niej równa się promieniowi ($d=r$).

Dwa odcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe.

Twierdzenie Ptolemeusza

$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$

Dla czworokąta wpisanego w okrąg iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów boków przeciwległych.

Na co uważać

Kąt wpisany to połowa środkowego (nie odwrotnie). Prostopadłość stycznej do promienia tworzy trójkąt prostokątny — klucz do zadań ze styczną.

∑Wzory 0

Brak wzorów do tego tematu.

🧩Quizy 1

▶Kąty w okręgu i styczna8 pyt. średni

✍Zadania dodatkowe 0

Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.

Brak zadań dodatkowych do tego tematu.

📄Zadania z arkuszy 20

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.

Zadanie nr 32 · Matura 2023

Dane są okrąg o środku $S$ oraz prosta $k$ styczna do okręgu w punkcie $A$. Odcinek $AB$ jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą $k$ a cięciwą $AB$ jest równa $50°$. Punkt $C$ leży na okręgu. Kąt $\sphericalangle BCA$ jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej.

Matematyka jest prosta

Miara kąta $\sphericalangle BCA$ jest równa:

A $100°$

B $80°$

C $50°$

D $40°$

Zadanie nr 37 · Matura 2023

Trzy różne punkty $A$, $B$ i $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu. Styczne $k$ i $l$ do tego okręgu, odpowiednio w punktach $A$ i $B$, przecinają się w punkcie $C$ (zobacz rysunek poniżej).

Matematyka jest prosta

Wykaż, że trójkąty $ACB$ i $ASD$ są podobne.

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów równoramiennych.
Z własności stycznych do okręgu wynika, że odcinki $AC$ oraz $BC$ mają jednakową miarę, a skoro tak, to trójkąt $ACB$ jest równoramienny.

Równoramienny będzie także trójkąt $ASD$, ponieważ odcinki $SA$ oraz $SD$ są promieniami okręgu.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy kąt $ACB$ jako $\alpha$ i spójrzmy na czworokąt $ACBS$. W tym czworokącie mamy nasz kąt alfa oraz dwa kąty proste (kąty $SAC$ oraz $SBC$ muszą być proste, bo styczna tworzy z promieniem okręgu zawsze kąt prosty). Suma miar kątów czworokąta jest równa $360°$, a skoro tak, to kąt $ASB$ ma miarę:
$$\beta=360°-90°-90°-\alpha$$ $$\beta=180°-\alpha$$
Matematyka jest prosta

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta $\alpha$.
Kąt $DSA$ jest kątem przyległym do naszego kąta $\beta$. Suma miar kątów przyległych jest równa $180°$, a skoro tak, to:
$$|\sphericalangle DSA|=180°-\beta$$ $$|\sphericalangle DSA|=180°-(180°-\alpha)$$ $$|\sphericalangle DSA|=180°-180°+\alpha$$ $$|\sphericalangle DSA|=\alpha$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Spójrzmy zatem najpierw na trójkąt $ABC$. Tutaj podstawą trójkąta jest bok $AB$, więc możemy zapisać, że kąty przy tej podstawie mają jednakową miarę, niech to będzie $\gamma$. Możemy sobie nawet zapisać, że miara takiego kąta $\gamma$ będzie równa $\frac{180°-\alpha}{2}$.

Analogiczna sytuacja jest w trójkącie $ASD$. Tutaj podstawą trójkąta jest bok $AD$ i to tutaj także kąty przy podstawie będą miały jednakową miarę. Skoro kąt między ramionami tego trójkąta to $\alpha$ (czyli identycznie jak w trójkącie $ABC$), to tutaj także kąty przy podstawie będą miały miarę równą $\gamma$.
Matematyka jest prosta

W ten sposób udowodniliśmy, że kąty w trójkątach $ABC$ oraz $ASD$ są jednakowej miary, a to oznacza, że te trójkąty są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Zadanie nr 41 · Matura 2023

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dane są okrąg $O$ o środku w punkcie $S=(3,-4)$ i prosta $k$ o równaniu $2x-y-11=0$.

Okrąg $O$ jest styczny do prostej $k$ w punkcie $P$.

Zadanie 1.

Wyznacz i zapisz równanie okręgu $O$.

Zadanie 2.

Oblicz współrzędne punktu $P$, w którym okrąg $O$ jest styczny do prostej $k$.

Zadanie nr 6 · Matura 2023

Dany jest okrąg $\mathcal{O}$. Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$. Przez punkt $B$ leżący na odcinku $AP$ poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie $D$, która przecięła odcinek $AQ$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli $|AQ|=5\cdot|BP|$ oraz $|CD|=2\cdot|BD|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Zadanie nr 19 · Matura 2022

Punkty $A$ oraz $B$ leżą na okręgu o środku $S$. Kąt środkowy $ASB$ ma miarę $100°$. Prosta $l$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ i tworzy z cięciwą $AB$ okręgu kąt o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Matematyka jest prosta

Wtedy:

A $\alpha=40°$

B $\alpha=45°$

C $\alpha=50°$

D $\alpha=60°$

Zadanie nr 10 · Matura 2021

Prosta przechodząca przez punkty $A=(8,-6)$ i $B=(5,15)$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $O=(0,0)$. Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą $AB$.

Zadanie nr 31 · Próbny 2021

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości $a$ i $b$. Punkt $O$ leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).

Matematyka jest prosta

Wykaż, że promień $r$ tego okręgu jest równy $\frac{ab}{a+b}$.

Zadanie nr 7 · Matura 2020

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|=6$, a punkt $D$ jest środkiem podstawy $AB$. Okrąg o środku $D$ jest styczny do prostej $AC$ w punkcie $M$. Punkt $K$ leży na boku $AC$, punkt $L$ leży na boku $BC$, odcinek $KL$ jest styczny do rozważanego okręgu oraz $|KC|=|LC|=2$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $$\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}.$$

Trojkat rownoramienny ABC z okregiem o srodku D stycznym do AC w punkcie M oraz styczna KL

Zadanie nr 29 · Matura 2020

Dwa okręgi o promieniach r=2 i R=6 są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej k. Wykaż, że prosta l przechodząca przez środki S i P tych okręgów przecina prostą k pod kątem $\alpha=30°$ (zobacz rysunek).

Matematyka jest prosta

Zadanie nr 15 · Matura 2019

Okrąg, którego środkiem jest punkt $S=(a;5)$, jest styczny do osi $Oy$ i do prostej o równaniu $y=2$. Promień tego okręgu jest równy:

Matematyka jest prosta

A $3$

B $5$

C $2$

D $4$

Zadanie nr 29 · Matura 2019

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$, a środek $S$ tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta $BC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $C$, a ponadto $|AC|=r\sqrt{3}$. Wykaż, że kąt $ACB$ ma miarę $120°$.

Matematyka jest prosta

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do rozwiązania zadania jest dorysowanie odcinka $CS$, który jest promieniem okręgu. Z własności stycznych do okręgu wiemy, że styczna tworzy z promieniem kąt prosty i to będzie dla nas bardzo ważna informacja w tym zadaniu dowodowym.

Drugą rzeczą, którą musimy dostrzec to fakt, że dorysowując odcinek $CS$ utworzy nam się trójkąt równoramienny $ASC$, którego ramiona są promieniami okręgu, a podstawą jest bok $AC$. Co więcej, w treści zadania mamy tę długość podstawy opisaną jako $|AC|=r\sqrt{3}$.

Nanosząc te wszystkie informacje oraz dorysowując jeszcze wysokość trójkąta równoramiennego $ASC$ otrzymamy następującą sytuację:
Matematyka jest prosta

Krok 2. Obliczenie długości odcinka $DC$.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny $DSC$. Długość odcinka $DC$ jest równa połowie długości odcinka $AC$ (bo wysokość padająca na podstawę dzieli podstawę na dwa równe odcinki). Możemy więc zapisać, że:
$$|DC|=\frac{1}{2}\cdot|AC|$$ $$|DC|=\frac{1}{2}\cdot r\sqrt{3}$$ $$|DC|=\frac{r\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta $ACS$.
Ponownie spoglądamy na trójkąt prostokątny $DSC$. Wiemy, że $|SC|=r$ oraz że $|DC|=\frac{r\sqrt{3}}{2}$. Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretniej z cosinusa) możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{|DC|}{|SC|}$$ $$cosα=\frac{\frac{r\sqrt{3}}{2}}{r}$$ $$cosα=\frac{r\sqrt{3}}{2}:r$$ $$cosα=\frac{r\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{r}$$ $$cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje taką wartość dla kąta o mierze $30°$, czyli $|\sphericalangle ACS|=30°$.

Krok 4. Obliczenie miary kąta $ACB$ i zakończenie dowodzenia.
Kąt $ACB$ jest sumą kątów $ACS$ oraz $SCB$. Przed chwilą wyliczyliśmy, że $|\sphericalangle ACS|=30°$, a z własności stycznych do okręgu wiemy, że $|\sphericalangle SCB|=90°$. W związku z tym:
$$|\sphericalangle ACB|=30°+90°=120°$$

W ten sposób dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Zadanie nr 18 · Próbny 2018

Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu w punktach $A$ i $B$ (zobacz rysunek). Promień okręgu ma długość $5$, a odległość punktu $P$ od środka $S$ tego okręgu jest równa $13$. Ile wynosi pole deltoidu $PBSA$?

Matematyka jest prosta

A $30$

B $60$

C $64$

D $65$

Zadanie nr 3 · Matura 2017

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta $ABC$, w którym $|AD|=|CD|=\frac{1}{2}|BC|$ (zobacz rysunek). Okrąg o środku $C$ i promieniu $CD$ jest styczny do prostej $AB$. Okrąg ten przecina boki $AC$ i $BC$ trójkąta odpowiednio w punktach $K$ i $L$. Zaznaczony na rysunku kąt $\alpha$ wpisany w okrąg jest równy

Trojkat ABC z okregiem o srodku C i punktami K, L, M

A $37{,}5^\circ$

B $45^\circ$

C $52{,}5^\circ$

D $60^\circ$

Zadanie nr 29 · Próbny 2017

Dwa przystające okręgi: jeden o środku $P=(4,5)$, drugi o środku $Q=(8,9)$, są styczne zewnętrznie. Zapisz równanie osi symetrii figury złożonej z tych okręgów, nieprzechodzącej przez ich środki.

Matematyka jest prosta

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro okręgi są przystające to znaczy, że mamy tak naprawdę dwa identyczne okręgi (o tej samej długości promienia). Zaznaczając w układzie współrzędnych dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:
Matematyka jest prosta

Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka $PQ$.
Skoro okręgi są przystające to punkt styczności $S$ jest środkiem odcinka $PQ$, bo $PS=r$ oraz $SQ=r$. Za chwilę współrzędne tego punktu przydadzą nam się do dalszych obliczeń, zatem już teraz możemy sobie wyznaczyć jego współrzędne, korzystając ze wzoru dostępnego w tablicach matematycznych:
$$S=\left(\frac{x_{P}+x_{Q}}{2};\frac{y_{P}+y_{Q}}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{4+8}{2};\frac{5+9}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{12}{2};\frac{14}{2}\right)$$ $$S=(6;7)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej $PQ$.
Za chwilę będziemy poszukiwać równania prostej prostopadłej do prostej $PQ$, zatem przyda nam się znajomość współczynnika kierunkowego prostej $PQ$. Oczywiście możemy wyznaczyć sobie całe równanie prostej $PQ$ (np. metodą układu równań), ale nam tak naprawdę potrzebny będzie tylko ten współczynnik kierunkowy, który obliczymy ze wzoru:
$$a=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}$$ $$a=\frac{9-5}{8-4}$$ $$a=\frac{4}{4}$$ $$a=1$$

Krok 4. Wyznaczenie równania osi symetrii.
Oś symetrii zapiszemy w postaci kierunkowej $y=ax+b$. Ustalmy najpierw jaki jest współczynnik kierunkowy $a$ tej prostej. Jest to prosta prostopadła do prostej $PQ$, a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy $-1$. Skoro więc prosta $PQ$ ma $a=1$, to oś symetrii musi mieć ten współczynnik równy $-1$, bo $-1\cdot1=-1$. Wiemy już zatem, że oś symetrii będzie wyrażać się równaniem $y=-1x+b$, czyli $y=-x+b$. Do ustalenia pozostał nam jeszcze współczynnik $b$, a jego wartość poznamy podstawiając współrzędne punktu $S=(6;7)$, przez który ta oś przechodzi:
$$y=-x+b$$ $$7=-6+b$$ $$b=13$$

To oznacza, że oś symetrii możemy opisać równaniem $y=-x+13$.

Zadanie nr 20 · Matura 2016

Okręgi o środkach $S_{1}=(3,4)$ oraz $S_{2}=(9,-4)$ i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy:

Matematyka jest prosta

A $8$

B $6$

C $5$

D $\frac{5}{2}$

Zadanie nr 18 · Próbny 2016

Dwa okręgi: pierwszy o środku $O_{1}=(-2,4)$ i promieniu $r_{1}=4$ oraz drugi o środku $O_{2}=(6,0)$, są styczne zewnętrznie. Promień drugiego okręgu jest równy:

Matematyka jest prosta

A $4$

B $4(\sqrt{5}-1)$

C $2\sqrt{5}$

D $5$

Zadanie nr 19 · Matura 2015

Okrąg opisany równaniem $(x-3)^2+(y+2)^2=r^2$ jest styczny do osi $Oy$. Promień $r$ tego okręgu jest równy:

Matematyka jest prosta

A $\sqrt{13}$

B $\sqrt{5}$

C $3$

D $2$

Zadanie nr 17 · Próbny 2015

W trójkąt równoramienny $ABC$ o podstawie $AB$ wpisano okrąg o promieniu $5$. Odległość wierzchołka $C$ od punktu styczności $S$ okręgu z ramieniem $BC$ jest równa $12$. Wysokość $CD$ tego trójkąta ma długość:

Matematyka jest prosta

A $10$

B $15$

C $5+\sqrt{119}$

D $18$

Zadanie nr 8 · Matura 2014

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym $A=\left(0,\ 2\sqrt{3}\right)$, $B=(2,0)$, a $C$ leży na osi $Ox$. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek $E$.

Zadanie nr 31 · Próbny 2012

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt $A=(2,1)$ i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

Matematyka jest prosta