Procenty i punkty procentowe

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na procent składany:
$$K_{n}=K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$$
gdzie:
\(K_{n}\) - kapitał zgromadzony po \(n\) okresach kapitalizacji
\(K\) - kapitał początkowy
\(n\) - liczba okresów kapitalizacji
\(p\) - wysokość oprocentowania (po uwzględnieniu liczby kapitalizacji)

Jednak zanim przystąpimy do obliczeń, to ustalmy kluczowe parametry, czyli \(n\) oraz \(p\). Lokata jest na \(10\) lat, a kapitalizacja jest roczna. W związku z tym \(n=10\) (bo odsetki zostaną dopisane dziesięć razy), a \(p=3\). Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:
$$K_{10}=K\cdot\left(1+\frac{3}{100}\right)^{10}$$ $$K_{10}=K\cdot(1,03)^{10}$$ $$K_{10}\approx K\cdot1,3439$$ $$K_{10}\approx1,34K$$

Skoro włożyliśmy na lokatę \(K\) złotych, a po dziesięciu latach mamy \(1,34K\), to znaczy, że kwota wzrosła o \(34\%\).

Aby rozpisać tę sytuację, musimy pamiętać, że obniżka ceny o np. \(30\%\) sprawia, iż nowa cena towaru stanowi \(70\%\) poprzedniej ceny, czyli \(0,7\) tej wartości. W związku z tym:

\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,7\cdot x=0,7x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,7x=0,56x\) - cena towaru po drugiej obniżce

Skoro \(x\) stanowi \(80\%\) liczby \(y\), to:
$$x=0,8y$$

Teraz dzieląc obydwie strony przez \(0,8\) (lub mnożąc przez odwrotność, czyli \(\frac{10}{8}\), otrzymamy że:
$$y=1,25x$$

To oznacza, że liczba \(y\) stanowi \(125\%\) liczby \(x\).

Rozpiszmy to sobie wszystko bardzo dokładnie:
Początkowa cena: \(3500\)
Cena po pierwszej obniżce: \(0,9\cdot3500=3150\)
Cena po drugiej obniżce: \(0,85\cdot3150=2677,50\)

To oznacza, że cena komputera po dwóch obniżkach wynosi \(2677,50zł\).

Z treści zadania wynika, że \(r_{1}=1,3r_{2}\). W związku z tym:
$$P_{1}=π{r_{1}}^2=π(1,3r_{2})^2=1,69π{r_{2}}^2$$ $$P_{2}=π{r_{2}}^2$$

Widzimy wyraźnie, że pole pierwszego koła jest większe od drugiego o \(69\%\), zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Z treści zadania wynika, że:
$$0,75a=177$$ $$a=236$$

Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
W bardzo podobny sposób możemy wyznaczyć wartość liczby \(b\):
$$0,59b=177$$ $$b=300$$

Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Tak naprawdę w odpowiedziach mamy działania \(b-a\) oraz \(a-b\) wraz z proponowanymi wynikami. Obliczmy zatem wartość każdego z tych wyrażeń:
$$b-a=300-236=64$$ $$a-b=236-300=-64$$

To oznacza, że poszukiwaną przez nas odpowiedzią jest \(b-a=64\).

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,1x\) - wysokość zniżki
\(0,9x\) - cena towaru po obniżce

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że obniżka wyniosła \(2018zł\), czyli:
$$0,1x=2018zł \quad\bigg/\cdot10$$ $$x=20180zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny towaru po zniżce.
Zgodnie z oznaczeniami wiemy, że towar kosztował na początku \(20180zł\). Obniżka wyniosła \(2018zł\), zatem po obniżce towar kosztował:
$$20180zł-2018zł=18162zł$$

Mogliśmy też wykorzystać informację, że cena towaru po obniżce stanowi \(0,9x\), czyli:
$$0,9\cdot20180zł=18162zł$$

Z treści zadania wynika, że \(r_{1}=1,3r_{2}\). W związku z tym:
$$P_{1}=π{r_{1}}^2=π(1,3r_{2})^2=1,69π{r_{2}}^2$$ $$P_{2}=π{r_{2}}^2$$

Widzimy wyraźnie, że pole pierwszego koła jest większe od drugiego o \(69\%\), zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.

Krok 1. Obliczenie wysokości obniżki.
$$220zł-176zł=44zł$$

Krok 2. Obliczenie o ile procent obniżono cenę butów.
Cenę obniżono o \(44zł\) z \(220zł\), czyli:
$$\frac{44}{220}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni przed przekształceniem.
Prostokąt przed przekształceniem ma pole powierzchni równe:
$$P_{1}=40cm\cdot100cm$$ $$P_{1}=4000cm^2$$

Krok 2. Obliczenie wymiarów oraz pola powierzchni po przekształceniu.
Jeżeli dłuższy bok wydłużymy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(1,2\cdot100cm=120cm\).
Jeżeli krótszy bok skrócimy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(0,8\cdot40cm=32cm\).

To oznacza, że pole powierzchni przekształconego prostokąta wyniesie:
$$P_{2}=120cm\cdot32cm$$ $$P_{2}=3840cm^2$$

Krok 3. Obliczenie o ile zmniejszy się pole powierzchni prostokąta po przekształceniu.
Pole powierzchni zmniejszyło się o:
$$4000cm^2-3840cm^2=160cm^2$$

To oznacza, że w procentowym ujęciu pole zmniejszy się o:
$$\frac{160cm^2}{4000cm^2}=\frac{4}{100}=4\%$$

\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,8x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,8x=0,64x\) - cena towaru po drugiej obniżce

To oznacza, że cena towaru spadła o \(x-0,64x=0,36x\), czyli o \(36\%\).

\(x\) - tyle oszczędności miała Julia
\(0,5x\) - tyle oszczędności przeznaczyła Julia na prezent dla Maćka
\(x-0,5x=0,5x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupie prezentu
\(0,1\cdot0,5x=0,05x\) - tyle pieniędzy przeznaczyła Julia na prezent dla Dominiki
\(0,5x-0,05x=0,45x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupach dwóch prezentów

Julce zostało \(0,45x\) oszczędności, więc zostało jej \(45\%\).

Aby obliczyć błąd względny musimy posłużyć się następującym wzorem:
$$δ=\frac{|x-x_{o}|}{x}$$

W naszym przykładzie:
$$x=\frac{5}{8}=0,625$$ $$x_{o}=0,6$$ $$\text{więc}$$ $$δ=\frac{|0,625-0,6|}{0,625}$$ $$δ=\frac{0,025}{0,625}$$ $$δ=0,04=4\%$$

Przyjmijmy cenę początkową jako \(x\).
Po pierwszej podwyżce cena towaru wyniosła \(x\) plus \(30\%\) z ceny \(x\), czyli \(1,3x\).
Po drugiej podwyżce cena towaru wzrosła o \(10\%\), ale nie z ceny \(x\), tylko z \(1,3x\). Zatem mamy \(1,1\cdot1,3x=1,43x\).

Cena towaru wzrosła o \(1,43x-x=0,43=43\%\).

Zgodnie z treścią zadania musimy ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$17\%\cdot21-21\%\cdot17=$$ $$=\frac{17}{100}\cdot21-\frac{21}{100}\cdot17=$$ $$=\frac{17\cdot21}{100}-\frac{21\cdot17}{100}=0$$

Krok 1. Przyjęcie poprawnych oznaczeń.
Aby dobrze rozwiązać to zadanie musimy dobrze opisać sobie poszczególne dane z treści zadania:
\(a\) - długość boku pierwszego kwadratu
\(1,1a\) - długość boku drugiego kwadratu, bo ma to być długość o \(10\%\) większa od boku \(a\).
\(P_{1}\) - pole powierzchni pierwszego kwadratu
\(P_{2}\) - pole powierzchni drugiego kwadratu

Naszym zadaniem jest policzenie stosunku pól powierzchni (wyrażając wynik w procentach):
$$\frac{P_{2}}{P_{1}}\cdot100\%$$

Krok 2. Obliczenie pól powierzchni i różnicy między nimi.
Obliczamy pola powierzchni obydwu kwadratów:
$$P_{1}=a\cdot a=a^2$$ $$P_{2}=1,1a\cdot1,1a=1,21a^2$$

Znając pola powierzchni możemy obliczyć o ile większe jest pole drugiego kwadratu:
$$\frac{P_{2}-P_{1}}{P_{1}}\cdot100\%=\frac{1,21a^2-a^2}{a^2}\cdot100\%=\frac{0,21a^2}{a^2}\cdot100\%=21\%$$

\(15\%\) możemy zapisać w formie ułamka dziesiętnego jako \(0,15\). W związku z tym \(15\%\) z \(x\) jest równe \(0,15\cdot x\). Wiemy, że suma \(x\) oraz \(0,15\cdot x\) jest równa \(230\), zatem poszukiwanym równaniem jest:
$$x+0,15\cdot x=230$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę policzenie ceny brutto tego towaru. Aby tego dokonać musimy do ceny netto (czyli \(60zł\)) dodać wartość podatku VAT (czyli \(22\%\) z \(60zł\)). Zatem:
$$C_{brutto}=60+22\%\cdot60$$ $$C_{brutto}=60+0,22\cdot60$$ $$C_{brutto}=60+13,20$$ $$C_{brutto}=73,20[zł]$$

Bilety ulgowe stanowiły \(\frac{126}{280}=0,45=45\%\) wszystkich biletów.

Możemy ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(6\%\) jest równe \(9\)
to \(1\%\) jest równy \(1,5\)
więc \(100\%\) jest równe \(150\).