Zadania tekstowe z układami równań

Rozwiązanie

1. Skoro po odjęciu $25\%$ zostało $75\%$ wpływów: wpływy $=\dfrac{4665}{0{,}75}=6220$ zł.
2. Niech $u$ — liczba biletów ulgowych, $200-u$ — normalnych. Wtedy $35(200-u)+25u=6220$.
3. $7000-35u+25u=6220\Rightarrow 7000-10u=6220\Rightarrow 10u=780\Rightarrow u=78$.

Odpowiedź: sprzedano $78$ biletów ulgowych.

Krok 1. Obliczenie całkowitych wpływów ze sprzedaży biletów.
Niech \(W\) oznacza całkowite wpływy ze sprzedaży biletów. Skoro po odliczeniu \(25\%\) kosztów zostało \(4665\) \(zł\), to kwota ta stanowi \(75\%\) całkowitych wpływów:
$$0,75W=4665$$ $$W=\frac{4665}{0,75}=6220$$

Całkowite wpływy wyniosły \(6220 zł\).

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Niech \(x\) oznacza liczbę biletów normalnych, a \(y\) liczbę biletów ulgowych. Wiemy, że łącznie sprzedano \(200\) biletów, zatem:
$$x+y=200$$

Równanie opisujące wpływy ze sprzedaży to:
$$35x+25y=6220$$

Te dwa równania tworzą teraz układ równań, który musimy rozwiązać:
\begin{cases} x+y=200 \\ 35x+25y=6220 \end{cases}

Metoda rozwiązywania jest dowolna, ale najłatwiej będzie chyba dostrzec, że z pierwszego równania otrzymamy \(x=200-y\) i tę wartość możemy od razu podstawić do drugiego równania:
$$35\cdot(200-y)+25y=6220$$ $$7000-35y+25y=6220$$ $$-10y=-780$$ $$y=78$$

Układamy układ równań: $\begin{cases}8x+4y=82\\ 3x+9y=60\end{cases}$.

Drugie równanie dzielimy przez $3$: $x+3y=20$, stąd $x=20-3y$.

Podstawiamy do pierwszego: $8(20-3y)+4y=82\Rightarrow 160-24y+4y=82\Rightarrow -20y=-78\Rightarrow y=3{,}9$.

$x=20-3\cdot 3{,}9=20-11{,}7=8{,}3$.

Cena czekolady $\mathcal{C}$ to $8{,}30$ zł.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Aby się nie pogubić podczas rozwiązywania, rozpiszmy sobie wszystko bardzo dokładnie:
\(x\) - kwota przyznana zespołowi \(A\)
\(0,13x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(A\)

\(1200000-x\) - kwota przyznana zespołowi \(B\)
\(0,11\cdot(1200000-x)=132000-0,11x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(B\)

Krok 2. Obliczenie kwoty przyznanej zespołowej \(A\).
Z treści zadania wynika, że suma dotychczasowych wydatków zespołu \(A\) i \(B\) wynosi \(146\;700\) złotych. Na podstawie zapisanych wcześniej oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$0,13x+132000-0,11x=146700$$ $$0,02x+132000=146700$$ $$0,02x=14700$$ $$x=735000$$

To oznacza, że zespół \(A\) otrzymał na projekt badawczy kwotę \(735\;000\) złotych.

Rozwiązanie

1. Posadzono razem: $x+y=1960$.
2. Pozostało: w I $0{,}95x$, w II $0{,}9y$; warunek $0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x$.

Odpowiedź: A

Z pierwszego równania: $-a+18=20\Rightarrow a=-2$. Z drugiego: $-1+6b=5\Rightarrow b=1$.

$a\cdot b=-2\cdot 1=-2$.

Odpowiedź: A.

Układ równań. Z planu (7 dni wspólnej pracy):

\(7(m+n)=980\), czyli \(m+n=140\).

W rzeczywistości pracowali: 1 dzień razem, a potem drugi rzemieślnik sam przez \(7-1+8=14\) dni:

\((m+n)+14n=980\), czyli \(m+15n=980\).

Rozwiązanie. Odejmując pierwsze równanie od drugiego:

\(14n=840\), skąd \(n=60\), a więc \(m=140-60=80\).

Sprawdzenie: pierwszego dnia wykonano 140 detali, pozostało 840; drugi rzemieślnik robił 60 dziennie, czyli potrzebował 14 dni. Łącznie 15 dni, czyli o 8 dni dłużej niż planowane 7. ✅

Odpowiedź: \(m=80\), \(n=60\).