Wzory skróconego mnożenia — kwadraty i sześciany

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

$$7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\ge 0,$$

czyli po redukcji

$$8x^3+4x^2y-2xy^2-y^3\ge 0.$$

Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki:

$$\left(8x^3+4x^2y\right)-\left(2xy^2+y^3\right)=4x^2(2x+y)-y^2(2x+y)=(2x+y)\left(4x^2-y^2\right).$$

Drugi nawias rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów:

$$(2x+y)(2x-y)(2x+y)=(2x+y)^2(2x-y).$$

Czynnik $(2x+y)^2$ jest nieujemny jako kwadrat, a z założenia $2x>y$ wynika $2x-y>0$. Iloczyn liczby nieujemnej i dodatniej jest nieujemny, więc

$$(2x+y)^2(2x-y)\ge 0,$$

co kończy dowód. $\blacksquare$

Krok 1. Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę.

\(x^4+y^4-xy\left(x^2+y^2\right)\gt 0\)

\(x^4+y^4-x^3y-xy^3\gt 0\)

Krok 2. Rozkład na czynniki.

Grupujemy wyrazy:

\(x^4-x^3y-xy^3+y^4=x^3(x-y)-y^3(x-y)=(x-y)\left(x^3-y^3\right)\)

Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów:

\((x-y)\left(x^3-y^3\right)=(x-y)(x-y)\left(x^2+xy+y^2\right)=(x-y)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\)

Krok 3. Znaki czynników.

Ponieważ \(x\neq y\), mamy \((x-y)^2\gt 0\).

Drugi czynnik przekształcamy:

\(x^2+xy+y^2=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2\ge 0\)

Suma ta jest równa zeru tylko wtedy, gdy \(y=0\) i \(x=0\), a więc gdy \(x=y\) — co jest wykluczone. Zatem \(x^2+xy+y^2\gt 0\).

Krok 4. Wniosek.

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, więc

\((x-y)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\gt 0\)

czyli \(x^4+y^4\gt xy\left(x^2+y^2\right)\). \(\blacksquare\)

Krok 1. Wyrażenie w nawiasie — wzór na różnicę kwadratów.

Dla \(a=\sqrt{3}-1\) i \(b=\sqrt{3}+1\):

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\(a-b=\left(\sqrt{3}-1\right)-\left(\sqrt{3}+1\right)=-2\)

\(a+b=2\sqrt{3}\)

\(a^2-b^2=-2\cdot 2\sqrt{3}=-4\sqrt{3}\)

Krok 2. Podniesienie do sześcianu.

\(\left(-4\sqrt{3}\right)^3=-64\cdot 3\sqrt{3}=-192\sqrt{3}\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Wzór skróconego mnożenia. Oznaczmy $u=\sqrt{2-\sqrt3}$ oraz $v=\sqrt{2+\sqrt3}$. Wtedy

$$(u-v)^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}.$$

Krok 2. Kwadraty.

$$u^{2}=2-\sqrt3,\qquad v^{2}=2+\sqrt3,\qquad u^{2}+v^{2}=4.$$

Krok 3. Iloczyn. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów pod pierwiastkiem:

$$uv=\sqrt{\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$(u-v)^{2}=4-2\cdot 1=2.$$

Uwaga: obie liczby $2\pm\sqrt3$ są dodatnie, więc pierwiastki są dobrze określone.

Odpowiedź: A

Krok 1. Odpowiednie pogrupowanie składników.

Rozbijamy \(5x^2\) na \(4x^2+x^2\):

\(5x^2+y^2-4xy+6x+9=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(x^2+6x+9\right)\)

Krok 2. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia.

\(4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2\)

\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)

Zatem:

\(5x^2+y^2-4xy+6x+9=(2x-y)^2+(x+3)^2\)

Krok 3. Wniosek.

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma \((2x-y)^2+(x+3)^2\) jest nieujemna dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).

Tym samym dana nierówność jest prawdziwa. \(\blacksquare\)

Uwaga: równość zachodzi tylko dla \(x=-3\) i \(y=-6\).

Krok 1. Kwadrat sumy. Korzystamy z założenia $x^{2}+y^{2}=2$:

$$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=2+2xy.$$

Krok 2. Oszacowanie iloczynu $xy$. Dla dowolnych liczb rzeczywistych kwadrat różnicy jest nieujemny:

$$(x-y)^{2}\ge 0\ \Longrightarrow\ x^{2}-2xy+y^{2}\ge 0\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}\ge 2xy.$$

Podstawiamy założenie:

$$2\ge 2xy\ \Longrightarrow\ xy\le 1.$$

Krok 3. Oszacowanie kwadratu sumy.

$$(x+y)^{2}=2+2xy\le 2+2\cdot1=4.$$

Krok 4. Pierwiastkowanie. Liczby $x$ i $y$ są dodatnie, więc $x+y>0$. Z nierówności $(x+y)^{2}\le 4$ i dodatniości sumy wynika

$$x+y\le 2,$$

co należało wykazać. $\blacksquare$

Kiedy zachodzi równość: gdy $(x-y)^{2}=0$, czyli $x=y$. Wtedy $2x^{2}=2$, więc $x=y=1$ i rzeczywiście $x+y=2$.

Krok 1. Wzór skróconego mnożenia.

$$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3},$$

gdzie $a=3$ oraz $b=2\sqrt{3}$.

Krok 2. Kolejne składniki.

$$a^{3}=27,$$

$$3a^{2}b=3\cdot 9\cdot 2\sqrt{3}=54\sqrt{3},$$

$$3ab^{2}=3\cdot3\cdot\left(2\sqrt{3}\right)^{2}=9\cdot 12=108,$$

$$b^{3}=\left(2\sqrt{3}\right)^{3}=8\cdot 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}.$$

Krok 3. Złożenie.

$$\left(3-2\sqrt{3}\right)^{3}=27-54\sqrt{3}+108-24\sqrt{3}=135-78\sqrt{3}.$$

Odpowiedź: C

Przekształcamy wyrażenie, wyłączając \(k^2\) przed nawias:

\(k^6-2k^4+k^2=k^2(k^4-2k^2+1)=k^2(k^2-1)^2=\bigl[k(k-1)(k+1)\bigr]^2\).

Liczby \(k-1,\ k,\ k+1\) są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi, zatem:

• co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 2,

• dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 3.

Ponieważ \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, iloczyn \(k(k-1)(k+1)\) jest podzielny przez \(6\), czyli \(k(k-1)(k+1)=6t\) dla pewnej liczby całkowitej \(t\).

Stąd

\(k^6-2k^4+k^2=(6t)^2=36t^2\),

a więc badana liczba jest podzielna przez 36 dla każdej liczby całkowitej \(k\). \(\blacksquare\)