Wykresy funkcji y = |f(x)| i y = f(|x|)
Klasa 1 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
∑Wzory 1
Ile razy wzrośnie $x$, tyle razy zmaleje $y$; wykres to hiperbola.
Przykład: 4 pracowników — 6 dni, więc 8 pracowników — 3 dni ($xy=24$).
📘Teoria 1
Proporcjonalność odwrotna
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\neq0$$
Wykresem jest hiperbola — dwie gałęzie. Dla $a>0$ leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ w II i IV.
Asymptoty
Podstawowa hiperbola $\frac ax$ ma asymptotę pionową $x=0$ i poziomą $y=0$. To proste, do których wykres się zbliża, ale ich nie dotyka.
Własności
Dziedzina i zbiór wartości to $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Funkcja jest nieparzysta (wykres symetryczny względem początku układu) i malejąca w każdym przedziale osobno (dla $a>0$).
Funkcja homograficzna
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\neq0$$
Dziedzinę wyznacza warunek $cx+d\neq0$. To przesunięta i przeskalowana hiperbola.
Przesunięcia
$$f(x)=\frac{1}{x-p}+q$$
To hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$. Asymptoty przesuwają się razem: pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.
Sprowadzanie do postaci przesuniętej
W liczniku „odtwarzamy” mianownik i dzielimy: $\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$. Stąd od razu widać asymptoty.
Zastosowanie
Gdy iloczyn dwóch wielkości jest stały ($xy=\text{const}$), zależność jednej od drugiej to proporcjonalność odwrotna — np. bok prostokąta o ustalonym polu.
Na co uważać
Zawsze wyklucz z dziedziny miejsce zerowania mianownika. Monotoniczność rozpatruj w każdym przedziale osobno — między gałęziami jest asymptota.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 5
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\frac{3}{x}$?
Wykresem funkcji $f(x)=\frac{a}{x}$ dla $a>0$ jest hiperbola leżąca w ćwiartkach:
Wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$ ma asymptoty:
Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, a ich wykres to hiperbola $y=\frac{a}{x}$. Jeśli $y=4$ dla $x=3$, to ile wynosi współczynnik $a$?
Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{1}{x-3}+2$ powstaje z $y=\frac{1}{x}$ przez przesunięcie:
📄Zadania z arkuszy 4
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji \(h\), określonej wzorem \(h(x)=\dfrac{a}{x}\) dla \(x\neq0\). Wiadomo, że do wykresu funkcji \(h\) należy punkt \(P=(2,5)\).
a) Oblicz wartość współczynnika \(a\).
b) Ustal, czy liczba \(h(\pi)-h(-\pi)\) jest dodatnia czy ujemna.
c) Rozwiąż nierówność \(h(x)>5\).