Układy równań z parametrem

Krok 1. Wybór pierwszej poprawnej odpowiedzi.
Celem zadania jest tak naprawdę ustalenie jakimi równaniami są opisane nasze proste. Najprościej będzie zacząć od ustalenia jaka jest postać kierunkowa tych prostych, czyli najpierw warto zerknąć na proponowane odpowiedzi D, E oraz F (bo właśnie tam wszystkie równania są zapisane w tej postaci, więc jest spore prawdopodobieństwo, że znajdziemy tam pierwszą poprawną odpowiedź). Możemy oczywiście wyznaczać takie równania w standardowy sposób, ale spróbujmy podejść do tego zadania nieco bardziej analitycznie, analizując podane odpowiedzi.

Widzimy, że jedna prosta przecina oś \(Ox\) dla \(y=-4\), a druga dla \(y=3\frac{1}{2}\), więc współczynniki \(b\) tych prostych powinny być równe odpowiednio \(b=-4\) oraz \(b=3\frac{1}{2}\). Tak się składa, że w każdej parze mamy takie współczynniki, więc analizujemy dalej. Widzimy, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca, czyli jedna powinna mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga ujemny. W ten sposób spośród odpowiedzi D, E, F możemy już odrzucić odpowiedź D. Zostały nam już odpowiedzi E oraz F, które różnią się tylko pierwszym równaniem, które opisuje prostą rosnącą. Sprawdźmy zatem jaką wartość przyjmuje każde z równań dla \(x=2\). Prosta \(y=x-4\) przyjmuje wartość \(y=2-4=-2\), natomiast prosta \(y=2x-4\) przyjmie wartość \(y=2\cdot2-4=0\). Na wykresie widać, że ta wartość powinna być równa \(0\), bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\), stąd też po tej prostej analizie możemy stwierdzić, że pierwszą poprawną odpowiedzią będzie F.

Dla upewnienia się, możemy oczywiście analogicznie sprawdzić to drugie równanie \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\), podstawiając np. \(x=7\). Wyjdzie nam, że \(y=-\frac{1}{2}\cdot7+3\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=0\) i to się zgadza, bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((7;0)\).

Krok 2. Wybór drugiej poprawnej odpowiedzi.
Druga odpowiedź będzie znajdować się wśród proponowanych A, B oraz C. Mówiąc bardzo obrazowo, musimy sprawdzić które równania da się przekształcić do postaci tych z odpowiedzi F. Tu warto zauważyć, że każdy układ ma różne drugie równania, więc możemy skupić się tylko na nich. Przekształćmy zatem te równania do postaci kierunkowej:

Odp. A. (drugie równanie)
$$-4y-7(x-7)=0$$ $$-4y-7x+49=0$$ $$-4y=7x-49$$ $$y=-\frac{7}{4}x+12\frac{1}{4}$$

To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).

Odp. B. (drugie równanie)
$$4y+2(x-7)=0$$ $$4y+2x-14=0$$ $$4y=-2x+14=0$$ $$y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}$$

To równanie jest poprawne, bo otrzymaliśmy dokładnie to samo co w odpowiedzi F.

Odp. C. (drugie równanie)
$$4y-2(x-7)=0$$ $$4y-2x+14=0$$ $$4y=2x-14$$ $$y=\frac{1}{2}x-3\frac{1}{2}$$

To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).

I w ten oto sposób udało nam się ustalić, że poprawną odpowiedzią będzie także odpowiedź B.

Skoro podana para liczb spełnia nasz układ równań, to podstawmy w takim razie \(x=1\) oraz \(y=-3\) do tego układu, otrzymując:
\begin{cases} 1-(-3)=a^2 \\ (1+a)\cdot1-3\cdot(-3)=-4a \end{cases}

\begin{cases} 4=a^2 \\ 1+a-(-9)=-4a \end{cases}

\begin{cases} 4=a^2 \\ 10+a=-4a \end{cases}

\begin{cases} a^2=4 \\ -5a=10 \end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Otrzymaliśmy dwa równania z jedną niewiadomą, które teraz musimy rozwiązać:
I równanie:
$$a^2=4$$ $$a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

II równanie:
$$-5a=10$$ $$a=-2$$

Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Widzimy wyraźnie, że tylko \(a=-2\) spełnia jedno i drugie równanie, stąd też właśnie to \(a=-2\) jest prawidłową odpowiedzią.

Aby rozwiązać to zadanie, musimy podstawić do układu równań \(x=2\) oraz \(y=1\), zatem:
\begin{cases} 2\cdot2-3\cdot1=a-b \\ 2\cdot2+3\cdot1=a+b \end{cases}

\begin{cases} 4-3=a-b \\ 4+3=a+b \end{cases}

\begin{cases} a-b=1 \\ a+b=7 \end{cases}

\begin{cases} a=1+b \\ a=7-b \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że:
$$1+b=7-b$$ $$2b=6$$ $$b=3$$

Znamy już wartość \(b=3\), zatem podstawiając ją do jednego z równań np. \(a=1+b\), obliczymy poszukiwaną wartość \(a\):
$$a=1+b$$ $$a=1+3$$ $$a=4$$

Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem:
$$2a+2b=60$$ $$2(a+b)=60$$

Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.

Aby dowiedzieć się dla jakiego parametru \(a\) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, musimy doprowadzić do sytuacji w której pierwsze i drugie równanie będą miały identyczną postać. W tym celu musimy np. pierwsze równanie pomnożyć obustronnie przez \(-3\). Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases} 2x-3y=-1 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ -6x+ay=3 \end{cases}

\begin{cases} -6x+9y=3 \\ -6x+ay=3 \end{cases}

Teraz jak porównamy sobie obydwa te równania (zwłaszcza to, co znalazło się przed igrekiem) to zauważymy, że układ równań będzie tożsamościowy dla \(a=9\).

Podstawiając \(x=3\) i \(y=1\) do naszego układu równań otrzymamy:
\begin{cases} -3+12\cdot1=a^2 \\ 2\cdot3+a\cdot1=9 \end{cases}

\begin{cases} -3+12=a^2 \\ 6+a=9 \end{cases}

\begin{cases} a^2=9 \\ a=3 \end{cases}

W pierwszym równaniu otrzymaliśmy proste równanie kwadratowe \(a^2=9\), którego rozwiązaniem są liczby \(a=3\) oraz \(a=-3\). W drugim równaniu wyszło nam, że \(a=3\). Co oznacza ta rozbieżność? Możemy to zinterpretować w taki sposób, że gdy \(a=-3\) to para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem tylko pierwszego równania, natomiast gdy \(a=3\), to wskazana para liczb jest rozwiązaniem jednego i drugiego równania (czyli całego układu równań). Z tego też względu rozwiązaniem tego zadania jest \(a=3\).

Do rozwiązania tego zadania można dojść na wiele sposobów, nawet najpopularniejszą metodą podstawiania. Jednak najprościej będzie dostrzec rozwiązanie mnożąc pierwsze równanie przez \(-\frac{3}{2}\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
\begin{cases} 2x-4y=3 \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\ -3x+6y=-4 \end{cases}

\begin{cases} -3x+6y=-\frac{9}{2} \\ -3x+6y=-4 \end{cases}

W pierwszym równaniu wyszło nam, że \(-3x+6y\) jest równe \(-\frac{9}{2}\). W drugim równaniu wyszło, że \(-3x+6y\) jest równe \(-4\). Te dwa równania mają po lewej stronie to samo wyrażenie (bez potęg), a po prawej mają różne liczby. Taka sytuacja jest niemożliwa do otrzymania, zatem ten układ równań jest sprzeczny, czyli nie ma on rozwiązań.

Krok 1. Doprowadzenie równań do jednakowej postaci.
Mnożąc drugie równanie przez \(2\) otrzymamy:
\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}

\begin{cases} 2x-y=2 \\ 2x+2my=2 \end{cases}

Krok 2. Ustalenie dla jakiego parametru \(m\) równania mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Aby nasz układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań, to pierwsze i drugie równanie muszą być identyczne. Porównując do siebie te dwa równania widzimy, że aby tak się stało to liczby stojące przy igreku muszą być sobie równe. W pierwszym równaniu przed igrekiem mamy jedynie minus, czyli mamy tak jakby \(-1y\). W drugim równaniu mamy wartość \(2my\). Skoro wartości przed igrekami muszą być równe, to:
$$-1=2m$$ $$m=-\frac{1}{2}$$

Z rysunku możemy odczytać, że jedna prosta jest rosnąca, a druga jest malejąca. To oznacza, że jedna z prostych musi mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga musi mieć ujemny. Ogranicza nam to wybór odpowiedzi do B oraz D. Pozostałe warianty możemy już odrzucić.

Aby ustalić który układ równań jest tym dobrym wystarczy spojrzeć np. na miejsce przecięcia się prostej malejącej z osią igreków. Prosta ta przecina oś igreków dla \(x=3,5\), czyli \(x=\frac{7}{2}\). To oznacza, że współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy właśnie \(b=\frac{7}{2}\). Taką sytuację mamy w odpowiedzi B.

Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem:
$$2a+2b=60$$ $$2(a+b)=60$$

Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.

Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy:
$$2x+0y=1+b$$ $$2x=1+b$$ $$x=\frac{1+b}{2}$$

Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy:
$$0x+2y=1-b$$ $$2y=1-b$$ $$y=\frac{1-b}{2}$$

Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem:
$$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0$$ $$1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0$$ $$b\gt-1 \quad\land\quad b\lt1$$

To oznacza, że \(-1\lt b\lt1\).

Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \quad\bigg/:(-2) \end{cases}\begin{cases} 2x-3y=5 \\ 2x-3y=5 \end{cases}

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W układzie równań uzyskaliśmy dwa identyczne równania. To oznacza, że te dwie proste pokrywają się ze sobą, a więc tworzą układ o nieskończonej liczbie rozwiązań.

Z pomocą przyjdzie nam interpretacja graficzna układu równań. Układ równań nie ma rozwiązań, kiedy reprezentują go dwie proste równoległe względem siebie (które jednocześnie się nie pokrywają).

Skoro dwie proste mają być równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) znajdujący się przed iksem musi być jednakowy. Zatem:
$$-a=\frac{b}{3}$$ $$-3a=b$$ $$\frac{b}{a}=-3$$

Teraz patrzymy na nasze odpowiedzi. Parą liczb która spełnia warunki tej równości może być albo para z trzeciej odpowiedzi, czyli \(a=1\) i \(b=-3\), albo z czwartej, czyli \(a=-1\) i \(b=3\).

Ustaliliśmy też, że muszą to być proste które się ze sobą nie pokrywają, czyli muszą mieć różne współczynniki \(b\). Zatem:
$$2a\neq-2$$ $$a\neq-1$$

To z kolei wyklucza nam odpowiedzi gdzie \(a=-1\), zatem jedyną pasującą odpowiedzią jest trzecia, która zawiera parę liczb \(a=1\) i \(b=-3\).

Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości \(x\) oraz \(y\) będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź.
\begin{cases} x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3x-2y=-4 \end{cases}\begin{cases} -3x-9y=15 \\ 3x-2y=-4 \end{cases}

Dodając to równanie stronami otrzymamy:
$$-9y+(-2y)=15+(-4)$$ $$-11y=11$$ $$y=-1$$

Wartość \(x\) obliczymy podstawiając \(y=-1\) do jednego z równań:
$$x+3\cdot(-1)=-5$$ $$x-3=-5$$ $$x=-2$$

Szukamy więc rysunku, na którym dwie proste przetną się w punkcie o współrzędnych \((-2;-1)\) i taka sytuacja jest przedstawiona na rysunku pierwszym.

Krok 1. Odczytanie z rysunku kluczowych informacji na temat prostych.
Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, czyli na pewno muszą mieć współczynnik kierunkowy \(a\) mniejszy od \(0\). Oprócz tego jesteśmy też w stanie odczytać konkretne wartości współczynnika \(b\), patrząc się na miejsce przecięcia się prostych z osią igreków. Jedna prosta przecina oś igreków dla \(y=1\), czyli współczynnik \(b=1\), natomiast druga prosta przecina oś igreków dla \(y=-2\), czyli ma współczynnik \(b=-2\).

Krok 2. Wskazanie prawidłowego układu równań.
Proste zapisane w układach równań mają postać \(y=ax+b\). Ustaliliśmy już sobie, że współczynnik \(a\) jednej i drugiej prostej musi być ujemny, co sprawia że możemy odrzucić drugą i czwartą odpowiedź.
Wiemy też, że współczynnik \(b\) jednej prostej ma być równy \(1\), a drugiej ma być równy \(-2\) i taką sytuację mamy w pierwszym układzie równań. Możemy więc bez wykonywania specjalnych obliczeń wskazać, że poszukiwaną prawidłową odpowiedzią jest pierwszy układ równań.

W tym zadaniu wystarczy tak naprawdę tylko podstawić do pierwszego równania \(x=2\) oraz \(y=1\) i obliczyć w ten sposób parametr \(a\):
$$x+ay=5$$ $$2+1a=5$$ $$a=3$$

Najprostszym sposobem na poznanie odpowiedzi będzie po prostu rozwiązanie tego układu równań. Tu możemy zastosować dowolną metodę, ale najszybciej będzie chyba wymnożyć to drugie równanie przez \(-5\) i zastosować metodę przeciwnych współczynników:
\begin{cases} 3x-5y=0 \\ 2x-y=14 \quad\bigg/\cdot(-5) \end{cases}\begin{cases} 3x-5y=0 \\ -10x+5y=-70 \quad\bigg/\cdot(-5) \end{cases}

Teraz dodając równanie stronami otrzymamy:
$$-7x=-70$$ $$x=10$$

Znając wartość \(x=10\) możemy podstawić ją do jednego z równań, otrzymując w ten sposób wartość \(y\), zatem:
$$3\cdot10-5y=0$$ $$30=5y$$ $$y=6$$

Zarówno \(x\) jak i \(y\) wyszły nam dodatnie, tak więc prawidłowa jest odpowiedź czwarta.

Układ ten można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba skorzystać z metody przeciwnych współczynników:
\begin{cases} 5x+3y=3 \quad\bigg/\cdot2 \\ 8x-6y=48 \end{cases}\begin{cases} 10x+6y=6 \\ 8x-6y=48 \end{cases}

Po dodaniu obu stron równania otrzymamy:
$$18x=54$$ $$x=3$$

W zasadzie w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, to \(x=3\) występuje tylko w jednej odpowiedzi. Nie mniej wyznaczmy jeszcze wartość \(y\).

Wartość \(y\) policzymy z dowolnie wybranego równania, podstawiając tam wyliczone przed chwilą \(x=3\), np.:
$$5x+3y=3$$ $$5\cdot3+3y=3$$ $$15+3y=3$$ $$3y=-12$$ $$y=-4$$

To równanie możemy rozwiązać zarówno metodą podstawiania jak i przeciwnych współczynników. Prościej będzie tutaj chyba użyć tego drugiego sposobu, mnożąc najpierw obie strony drugiego równania przez \(3\).
\begin{cases} x+3y=5 \\ 2x-y=3 \quad\bigg/\cdot3 \end{cases}\begin{cases} x+3y=5 \\ 6x-3y=9 \end{cases}

Dodajemy to równanie stronami i otrzymujemy:
$$7x=14$$ $$x=2$$

Podstawiając wartość \(x=2\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(y\):
$$2+3y=5$$ $$3y=3$$ $$y=1$$

Rozwiązaniem jest więc para liczb: \(x=2\) oraz \(y=1\).

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań to pierwsze i drugie równanie musimy doprowadzić do identycznej postaci, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy parametr \(a\):
\begin{cases} 4x+2y=10 \quad\bigg/\cdot1,5 \\ 6x+ay=15 \end{cases}\begin{cases} 6x+\color{blue}{3y}=15 \\ 6x+\color{blue}{ay}=15 \end{cases}

Skoro w pierwszym równaniu pojawiła nam się wartość \(3y\), to parametr \(a\) w drugim równaniu także musi być równy \(3\).