Twierdzenie Pitagorasa
Klasa 1 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 17
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$.
Na czworokącie wypukłym \(ABCD\) o bokach długości: \(|AB|=3\), \(|BC|=3\), \(|CD|=5\) oraz \(|DA|=8\), opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.
W okrąg o promieniu \(4\) wpisano trójkąt \(ABC\). Długość boku \(AB\) jest równa \(6\). Bok \(BC\) ma długość \(4\sqrt{3}\) i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku \(AC\) trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
Pole trójkąta ostrokątnego o bokach \(5\) i \(8\) jest równe \(12\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa
Na okręgu jest opisany czworokąt \(ABCD\). Bok \(AD\) tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku \(AB\), a przekątna \(BD\) ma długość równą \(6\). Ponadto spełnione są następujące warunki:
\(\cos(\angle ADB)=\frac{7}{8}\), \(\;|\angle BCD|=90^\circ\) oraz \(\;|AB|\gt\sqrt{15}\).
Oblicz długość boku \(BC\) tego czworokąta.
W trójkącie \(ABC\) kąt \(BAC\) jest dwa razy większy od kąta \(ABC\).
Wykaż, że prawdziwa jest równość \(|BC|^2-|AC|^2=|AB|\cdot|AC|\).
Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) ma długość 8 oraz \(|\sphericalangle BAC|=30^\circ\). Oblicz długość środkowej \(AD\) tego trójkąta.
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\) o bokach długości \(a\), \(b\), \(c\) i kątach \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+c^2-b^2}=\frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}\).
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(a\) i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.
Dany jest trójkąt o bokach długości \(1,\ \tfrac32,\ 2\). Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa \(a\). Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę \(45^\circ\). Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.
📘Teoria 2
Twierdzenie sinusów: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
Twierdzenie cosinusów: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
- Wyznaczanie boków i kątów trójkąta dowolnego
- Nawigacja i kartografia
- Geometria przestrzenna
Twierdzenie
W trójkącie prostokątnym $a^2+b^2=c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna.
Wyznaczanie boku
Znając dwa boki, obliczamy trzeci: $c=\sqrt{a^2+b^2}$ albo $a=\sqrt{c^2-b^2}$.
Przykład
Dla $a=6$ i $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
Zastosowania
Przekątna prostokąta, wysokość, odległości — wszędzie, gdzie pojawia się kąt prosty.
∑Wzory 2
Gdy znamy przeciwprostokątną i drugą przyprostokątną.
Przykład: $c=13$, $b=5$: $a=\sqrt{169-25}=12$.
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.
Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.
🧩Quizy 2
✍Zadania dodatkowe 30
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
W trójkącie dwa boki mają długości $7$ i $8$, a kąt między nimi ma miarę $120^\circ$. Oblicz długość trzeciego boku.
W trójkącie bok $a=6$ leży naprzeciw kąta $\alpha=45^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Trójkąt ma boki długości $5$, $7$ i $8$. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku długości $7$ oraz pole trójkąta.
W trójkącie $ABC$: $|BC|=10$, $|\angle BAC|=30^\circ$, $|\angle ABC|=45^\circ$. Oblicz długości boków $AC$ i $AB$.
W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku $6$ punkt $D$ leży na boku $BC$ i $|BD|=2$. Oblicz $|AD|$ oraz $\sin\angle BAD$.
Równoległobok ma boki długości $5$ i $8$ oraz kąt ostry $60^\circ$. Oblicz długości jego przekątnych.
Pole trójkąta jest równe $12\sqrt3$, a dwa jego boki mają długości $6$ i $8$. Oblicz długość trzeciego boku. Rozważ wszystkie przypadki.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=8$, $|AC|=5$, $|\angle BAC|=60^\circ$. Oblicz długość dwusiecznej $AD$ kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=6$, $|AC|=4$, a środkowa $AM$ ma długość $\sqrt{19}$. Oblicz $|BC|$ i miarę kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=5$, $|BC|=8$, $|CA|=7$. Oblicz miarę kąta $ABC$, pole trójkąta, promienie okręgów opisanego i wpisanego oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$.
W trójkącie o bokach $a=3$, $b=4$ i kącie $\gamma=90^\circ$ bok $c$ jest równy
W trójkącie o bokach $a$, $b$ i kącie $\gamma$ zawartym między nimi długość trzeciego boku $c$ spełnia
W trójkącie $a=2$, $b=2$, $\gamma=60^\circ$ bok $c$ jest równy
W trójkącie kąt $\alpha=45^\circ$, a bok leżący naprzeciw niego ma długość $a=6\sqrt2$. Promień $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
W trójkącie $a=5$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz bok $c$.
Dla kąta $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów przyjmuje postać
W trójkącie $a=3$, $b=4$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=2$, $b=2$, $\gamma=60^\circ$. Bok $c$ jest równy
Twierdzenie cosinusów to
W trójkącie $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$. Oblicz $c^2$.
W trójkącie $a=1$, $b=1$, $\gamma=120^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=6$, $b=8$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
Gdy kąt $\gamma$ jest rozwarty, to $c^2$ jest
W trójkącie $a=7$, $b=5$, $c=8$. Wartość $\cos\gamma$ (kąt naprzeciw $c$) jest równa
W trójkącie $a=3$, $b=5$, $\gamma=120^\circ$. Oblicz długość boku $c$.
Dla $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów daje
W trójkącie $a=9$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=4$, $b=3$, $\gamma=60^\circ$. Wartość $c^2$ jest równa
W trójkącie $a=2$, $b=3$, $\gamma=60^\circ$. Wartość $c^2$ jest równa
W trójkącie $a=5$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz długość boku $c$.