Równania i nierówności liniowe z parametrem

Rozwiązanie

Proste są równoległe (ten sam współczynnik kierunkowy) i malejące (ujemny), o wyrazach wolnych $3$ i $-1$. Pasuje $y=-\tfrac32x+3$ oraz $y=-\tfrac32x-1$.

Odpowiedź: A

Odczytujemy z wykresu równania obu prostych.

Prosta opadająca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\) i oś \(Ox\) w punkcie \((2,0)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:

\(a=\frac{0-2}{2-0}=-1\), czyli \(y=-x+2\)

Prosta rosnąca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\), a przez punkt \((2,1)\), więc:

\(a=\frac{1-(-3)}{2-0}=2\), czyli \(y=2x-3\)

Odpowiedź: B.

Krok 1. Wierzchołek \(A\). Leży na przecięciu prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\):

\(\frac{1}{2}x-1=2x-4\)

\(3=\frac{3}{2}x\)

\(x=2\), \(y=\frac{1}{2}\cdot 2-1=0\)

\(A=(2,0)\)

Krok 2. Wierzchołek \(C\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\):

\(C=(2\cdot 9-2,\;2\cdot 11-0)=(16,22)\)

Krok 3. Wierzchołek \(B\). Bok \(BC\) jest równoległy do \(AD\), więc leży na prostej o współczynniku kierunkowym \(2\) przechodzącej przez \(C\):

\(y-22=2(x-16)\), czyli \(y=2x-10\)

Punkt \(B\) jest przecięciem tej prostej z prostą zawierającą bok \(AB\):

\(2x-10=\frac{1}{2}x-1\)

\(\frac{3}{2}x=9\)

\(x=6\), \(y=\frac{1}{2}\cdot 6-1=2\)

Sprawdzenie: \(D=2S-B=(12,20)\) leży na prostej \(y=2x-4\), bo \(2\cdot 12-4=20\) ✓

Odpowiedź: \(B=(6,2)\)

Przekształcamy drugie równanie, dzieląc je stronami przez \((-4)\):

\(-4x+8y=-12\quad |:(-4)\)

\(x-2y=3\)

Otrzymaliśmy równanie identyczne z pierwszym. Oba równania opisują tę samą prostą, więc układ jest nieoznaczony.

Odpowiedź: D.

Rozwiązanie

Prosta malejąca: $y=-x+2$ (wyraz wolny $2$). Prosta rosnąca: $y=2x-1$ (wyraz wolny $-1$). Sprawdzenie: $-x+2=2x-1\Rightarrow x=1,\ y=1$.

Odpowiedź: D

Punkt przecięcia prostych musi spełniać oba równania. Podstawiamy \(x=-8\), \(y=6\).

A: \(2\cdot(-8)+3\cdot 6=2\) ✓, ale \(-(-8)+6=14\neq -14\) ✗

B: \(3\cdot(-8)+2\cdot 6=-12\) ✓, ale \(2\cdot(-8)+6=-10\neq 10\) ✗

C: \(-8+6=-2\) ✓, ale \(-8-2\cdot 6=-20\neq 4\) ✗

D: \(-8-6=-14\) ✓ oraz \(-2\cdot(-8)+6=16+6=22\) ✓

Odpowiedź: D.

Krok 1. Odcięta punktu przecięcia. Przyrównujemy wzory funkcji:

$$x-2=5-ax\ \Longrightarrow\ x+ax=7\ \Longrightarrow\ x(1+a)=7.$$

Dla $a=-1$ równanie przyjmuje postać $0=7$ — wykresy są wtedy równoległe i nie przecinają się. Zakładamy więc $a\neq-1$:

$$x=\frac{7}{1+a}.$$

Krok 2. Rzędna punktu przecięcia.

$$y=x-2=\frac{7}{1+a}-2=\frac{7-2(1+a)}{1+a}=\frac{5-2a}{1+a}.$$

Krok 3. Warunek $x>0$. Licznik $7$ jest dodatni, więc

$$\frac{7}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 1+a>0\ \Longleftrightarrow\ a>-1.$$

Krok 4. Warunek $y>0$. Wiemy już, że $1+a>0$, więc znak ułamka zależy tylko od licznika:

$$\frac{5-2a}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 5-2a>0\ \Longleftrightarrow\ a\lt \frac{5}{2}.$$

Krok 5. Część wspólna.

$$a\in\left(-1,\ \frac{5}{2}\right).$$

Kontrola: dla $a=0$ punkt przecięcia to $(7,5)$ — obie współrzędne dodatnie ✓; dla $a=3$ mamy $\left(\frac74,-\frac14\right)$ ✗; dla $a=-2$ mamy $(-7,-9)$ ✗

Odpowiedź: $a\in\left(-1,\frac{5}{2}\right)$