Przesunięcie wykresu funkcji o wektor

To wartość z tablicy kątów szczególnych, którą warto pamiętać:

$$\sin 30^\circ=\frac12$$

Pełny zestaw dla $30^\circ$: $\sin 30^\circ=\frac12$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$.

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Zamiany dokonujemy przez mnożenie przez $\frac{\pi}{180^\circ}$:

$$60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{60\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$$

Warto zapamiętać podstawowe zamiany: $180^\circ=\pi$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $30^\circ=\frac{\pi}{6}$.

Odpowiedź: $\frac{\pi}{3}$.

W drugą stronę mnożymy przez $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3\cdot180^\circ}{4}=\frac{540^\circ}{4}=135^\circ$$

Symbol $\pi$ się skraca, więc zostaje sam rachunek na liczbach.

Odpowiedź: $135^\circ$.

Na okręgu jednostkowym cosinus to współrzędna pozioma punktu. Dla kąta $90^\circ$ punkt leży na samej górze osi OY, więc jego współrzędna pozioma to zero:

$$\cos 90^\circ=0$$

Dla porównania: $\sin 90^\circ=1$ (współrzędna pionowa jest maksymalna).

Odpowiedź: A. $0$.

Korzystamy z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Rozpoznanie: to klasyczny trójkąt $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac45$.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Dzielenie ułamków: mnożymy przez odwrotność mianownika, a piątki się skracają.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

Znak funkcji zależy od położenia punktu na okręgu jednostkowym:

• $\sin\alpha>0$ — punkt nad osią OX (ćwiartki I i II)
• $\cos\alpha\lt 0$ — punkt na lewo od osi OY (ćwiartki II i III)

Oba warunki spełnia jednocześnie tylko ćwiartka II.

Pomocna reguła (kolejność znaków sinusa/cosinusa/tangensa po ćwiartkach): „wszystkie dodatnie” w I, „sinus” w II, „tangens” w III, „cosinus” w IV.

Odpowiedź: C. druga.

Krok 1 — zapisujemy kąt jako $180^\circ$ minus kąt ostry:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny. Sinus dla kąta w drugiej ćwiartce jest dodatni i zachodzi $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$:

$$\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac12$$

Kontrola znaku: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Funkcja sinus powtarza swoje wartości co pełny obrót:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Najmniejszą taką dodatnią liczbą jest $2\pi$, więc okres podstawowy to $2\pi$.

Uwaga na jednostki: w miary łukowej okres to $2\pi$, a nie $360$ — odpowiedź C myli radiany ze stopniami.

Dla porównania: tangens ma okres $\pi$.

Odpowiedź: D. $2\pi$.

To bezpośrednie zastosowanie jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Tożsamość ta zachodzi dla dowolnego kąta, więc:

$$\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ=1$$

Kluczowa obserwacja: nie trzeba znać wartości $\sin 40^\circ$ ani $\cos 40^\circ$ — wynik jest $1$ niezależnie od kąta.

Odpowiedź: $1$.

Dla kąta $45^\circ$ sinus i cosinus są równe:

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Zatem ich iloraz wynosi:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=1$$

Interpretacja: w trójkącie prostokątnym równoramiennym obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$.

Odpowiedź: B. $1$.

Odjęcie $2$ od funkcji to przesunięcie o $2$ w dół, czyli wektor $[0,\ -2]$.

Odpowiedź: D. $[0,\ -2]$.

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: B. $\frac{\pi}{2}$.

Krok 1 — składowa pozioma. $x-\frac{\pi}{6}$ oznacza przesunięcie o $\frac{\pi}{6}$ w prawo.

Krok 2 — składowa pionowa. $+1$ to przesunięcie o $1$ w górę.

Krok 3 — wektor:

$$\vec{u}=\left[\frac{\pi}{6},\ 1\right]$$

Krok 4 — zbiór wartości. Przesunięcie poziome nie zmienia zakresu, pionowe podnosi go o $1$:

$$ZW=\langle0,\ 2\rangle$$

Uwaga. Amplituda pozostaje $1$ (brak współczynnika przed sinusem), więc zbiór wartości ma „szerokość" $2$.

Odpowiedź: wektor $\left[\frac{\pi}{6},1\right]$, $ZW=\langle0,2\rangle$.

Krok 1 — wektor przesunięcia. Dodanie $\frac{\pi}{3}$ do argumentu przesuwa wykres o $\frac{\pi}{3}$ w lewo:

$$\vec{u}=\left[-\tfrac{\pi}{3},\ 0\right]$$

Krok 2 — miejsca zerowe. Sinus jest zerem, gdy argument to wielokrotność $\pi$:

$$x+\frac{\pi}{3}=k\pi \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{\pi}{3}+k\pi$$

Krok 3 — najbliższe zeru z prawej. Dla $k=1$:

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}$$

Uwaga na kierunek. Znak plus w nawiasie oznacza przesunięcie w lewo, nie w prawo — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: wektor $\left[-\frac{\pi}{3},0\right]$, miejsce zerowe $\frac{2\pi}{3}$.