Przedziały

Działania na zbiorach

$A\cup B$ — suma (elementy należące do któregokolwiek), $A\cap B$ — część wspólna (do obu), $A\setminus B$ — różnica (do $A$, ale nie do $B$).

Przedziały

$$\langle a,b\rangle=\{x: a\le x\le b\},\qquad (a,b)=\{x: a\lt x\lt b\}$$

Nawias ostry (domknięty) oznacza, że koniec należy do zbioru; okrągły — że nie należy. Przy $\pm\infty$ zawsze stosujemy nawias okrągły.

Wartość bezwzględna

$$|x|=\begin{cases}x & \text{dla } x\ge0\\ -x & \text{dla } x\lt 0\end{cases}$$

Interpretacja geometryczna: $|x-c|$ to odległość punktu $x$ od punktu $c$ na osi liczbowej.

Równania i nierówności z modułem

$$|x|=a \iff x=a \lor x=-a\qquad(a>0)$$

$$|x|\lt a \iff -a\lt x\lt a$$

$$|x|>a \iff x\lt -a \lor x>a$$

Wzory skróconego mnożenia

$$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

$$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$

$$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$

Na co uważać

Nierówność „mniejsze” daje jeden przedział (koniunkcja), „większe” — dwa rozłączne (alternatywa). Zapisu $-a\lt x\lt a$ nie wolno używać dla nierówności „większe”. Przy układzie nierówności bierzemy część wspólną, przy alternatywie — sumę.

Zbiory i przynależność

Zbiór to kolekcja elementów. Zapis $a\in A$ czytamy „$a$ należy do $A$”, a $a\notin A$ — „nie należy”. Symbol $\subset$ dotyczy dwóch zbiorów: $A\subset B$ znaczy, że każdy element $A$ jest też elementem $B$.

Działania na zbiorach

• Suma $A\cup B$ — elementy należące do $A$ lub do $B$
• Część wspólna $A\cap B$ — elementy należące do $A$ i do $B$
• Różnica $A\setminus B$ — elementy $A$, które nie należą do $B$

Różnica nie jest przemienna: $A\setminus B$ to zwykle co innego niż $B\setminus A$.

Liczba podzbiorów

$$\text{zbiór } n\text{-elementowy ma } 2^n \text{ podzbiorów}$$

Wliczamy w to zbiór pusty i cały zbiór — o nich najłatwiej zapomnieć.

Zbiory liczbowe

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste. Liczby niewymierne (np. $\sqrt2$, $\pi$) należą do $\mathbb{R}$, ale nie do $\mathbb{Q}$.

Przedziały — zapis

• $\langle a,\,b\rangle$ — domknięty, oba końce należą ($a\le x\le b$)
• $(a,\,b)$ — otwarty, końce nie należą ($a\lt x\lt b$)
• $\langle a,\,b)$ — domknięty z lewej ($a\le x\lt b$)

Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły: $\langle 3,\,+\infty)$ — nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do przedziału.

Działania na przedziałach

Warto naszkicować oba przedziały na jednej osi liczbowej.

• część wspólna — od większego lewego końca do mniejszego prawego
• suma — od mniejszego lewego do większego prawego (o ile przedziały się zazębiają)

Przykład: $\langle 1,\,6\rangle\cap\langle 4,\,9\rangle=\langle 4,\,6\rangle$.

Na co uważać

Nie mylić $\in$ (element i zbiór) z $\subset$ (dwa zbiory). Przy liczeniu liczb całkowitych w przedziale sprawdź uważnie, czy końce należą — najczęstszy błąd to pomyłka o jeden. Jeśli przedziały nie mają części wspólnej, ich suma zostaje zapisana z symbolem $\cup$ i nie da się jej „skleić” w jeden przedział.