Pojęcie funkcji

Rozwijamy lewą stronę:

$$m^2 + 4m + 4 \lt m$$

$$m^2 + 3m + 4 \lt 0$$

Wyróżnik: $\Delta = 9 - 16 = -7 \lt 0$

Ponieważ $\Delta \lt 0$ i współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($a=1>0$), trójmian $m^2+3m+4$ jest zawsze dodatni.

Nierówność $m^2+3m+4 \lt 0$ nie ma rozwiązań.

Zbiór rozwiązań: $\emptyset$ (brak rozwiązań).

1. Dziedzina: $[-4, 4)$ — od $-4$ do $4$ (bez 4, bo ostatni przedział to $(2,4)$ — otwarty z prawej).

2. Zbiór wartości:

• Na $[-4,-2]$: $f(x)=x+5$; $f(-4)=1$, $f(-2)=3$. Wartości: $[1,3]$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3$. Wartości: $\{3\}$.
• Na $(2,4)$: $f(x)=-3x+9$; $f(2^+)=3$, $f(4^-)=-3$. Wartości: $(-3,3)$.

Zbiór wartości: $(-3,3]$.

3. Argumenty, dla których $f(x)>0$:

• Na $[-4,-2]$: $x+5>0 \Rightarrow x>-5$ — cały odcinek: $[-4,-2]$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3>0$ — cały odcinek: $(-2,2]$.
• Na $(2,4)$: $-3x+9>0 \Rightarrow x\lt 3$ — przedział $(2,3)$.

Odpowiedź: $[-4,3)$.

4. Równanie $f(x)=3$:

• Na $[-4,-2]$: $x+5=3 \Rightarrow x=-2$ — punkt $\{-2\}$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3$ dla całego przedziału $(-2,2]$.

Odpowiedź: $[-2,2]$.

Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2+q$ z wierzchołkiem $(p,q)=(3,6)$:

$$f(x) = a(x-3)^2 + 6$$

Podstawiamy punkt $(0,3)$:

$$f(0) = a(0-3)^2 + 6 = 9a + 6 = 3$$

$$9a = -3 \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$$

$$\boxed{f(x) = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 6}$$

Oś symetrii paraboli w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ to prosta $x=p$.

Wierzchołek ma $p=3$, więc oś symetrii to $x=3$.

$$g(x) = f(x)-3 = -\tfrac{1}{3}(x-3)^2+6-3 = -\tfrac{1}{3}(x-3)^2+3$$

Miejsca zerowe: $g(x)=0$:

$$-\tfrac{1}{3}(x-3)^2+3=0 \Rightarrow (x-3)^2=9 \Rightarrow x-3=\pm3$$

$$x_1=0, \quad x_2=6$$

$$x_1+x_2 = \mathbf{6}$$

Alternatywnie: dla $g(x)=a(x-p)^2+q$ suma pierwiastków $= 2p = 2\cdot3=6$.

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego tylko gdy $a = 0$ (jest funkcją stałą różną od zera).

Warunek: $3-m=0 \Rightarrow m=3$.

Sprawdzenie: dla $m=3$: $f(x)=-4 \neq 0$ dla żadnego $x$. ✓

Oznaczenia: krawędzie z wierzchołka $A$: $AE=4$, $AB=x$, $AD=y$.

Warunek: $4 + x + y = 15$, więc $y = 11 - x$.

Dziedzina: $x > 0$ i $y = 11-x > 0$, więc $x \in (0, 11)$.

Pole całkowite:

$$S(x) = 2(AE \cdot AB + AB \cdot AD + AE \cdot AD) = 2(4x + xy + 4y)$$

Podstawiamy $y = 11-x$:

$$S(x) = 2\bigl(4x + x(11-x) + 4(11-x)\bigr) = 2\bigl(4x + 11x - x^2 + 44 - 4x\bigr)$$

$$S(x) = 2(-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88$$

Maksimum: Parabola otwarta w dół, wierzchołek w $x = -\frac{22}{2\cdot(-2)} = \frac{22}{4} = 5{,}5$.

Ponieważ $5{,}5 \in (0,11)$, maksimum osiągane dla $\boxed{x = 5{,}5}$.

Sprawdzenie: $y = 11-5{,}5 = 5{,}5$. Prostopadłościan o krawędziach $4$, $5{,}5$, $5{,}5$.

Podstawiając współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$2=(m^2-3)\cdot1^3-m^2+m+1$$ $$2=(m^2-3)\cdot1-m^2+m+1$$ $$2=m^2-3-m^2+m+1$$ $$2=-2+m$$ $$m=4$$

Musimy obliczyć wartość \(f(-\sqrt{3})\), czyli do wzoru funkcji musimy po prostu podstawić \(-\sqrt{3}\):
$$f(-\sqrt{3})=\frac{(-\sqrt{3})^2-(-\sqrt{3})-3}{(-\sqrt{3})^2-9}$$ $$f(-\sqrt{3})=\frac{3+\sqrt{3}-3}{3-9}$$ $$f(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{-6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Chcemy sprawdzić jaka jest wartość tej funkcji dla argumentu \(x=1\), zatem musimy podstawić właśnie \(x=1\) do wzoru tej funkcji:
$$f(1)=\frac{8\cdot1-7}{2\cdot1^2+1}$$ $$f(1)=\frac{8-7}{2+1}$$ $$f(1)=\frac{1}{3}$$

Powinniśmy kojarzyć, że funkcja \(f(x)=x^2\) przyjmuje tylko wartości dodatnie lub równe zero. Wynika to oczywiście z tego, że każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu przyjmuje wartość dodatnią lub równą zero.

Jeżeli przyjrzymy się podanym funkcjom, to zauważymy, że każda z nich jest pewnym przekształceniem funkcji \(f(x)=x^2\). Funkcją, która nie przyjmie wartości ujemnych będzie więc na pewno \(f(x)=x^2+1\), bowiem jest to nasza standardowa funkcja \(f(x)=x^2\), która jest jeszcze podniesiona o jedną jednostkę do góry. Ta funkcja będzie więc na pewno przyjmować jedynie wartości dodatnie.

Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem:
$$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}$$ $$f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1}$$ $$f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1}$$ $$f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$

Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$

Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}}$$ $$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$ $$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2}$$ $$f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$

Powyższa funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów/części, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Naszym zadaniem jest więc przyrównanie do zera każdej z części i sprawdzenie, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.

Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$x^2-1=0$$ $$x^2=1$$ $$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$

Wartości \(x=-1\) oraz \(x=1\) nie mieszczą się w przedziale \((-\infty,-2\rangle\), zatem nie są to miejsca zerowe naszej funkcji.

Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$-\frac{1}{3}x+1=0$$ $$-\frac{1}{3}x=-1$$ $$x=3$$

Wartość \(x=3\) nie mieści się w przedziale \((-2,3)\), zatem nie jest to miejsce zerowe naszej funkcji.

Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$2x-8=0$$ $$2x=8$$ $$x=4$$

Wartość \(x=4\) mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem jest to nasze miejsce zerowe.

Nasza funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Musimy więc każdy z tych wzorów przyrównać do zera i sprawdzić, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.

Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$2x+4=0$$ $$2x=-4$$ $$x=-2$$

Ta wartosć mieści się w przedziale \((-\infty,-1\rangle\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym.

Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$x^2-1=0$$ $$x^2=1$$ $$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$

Wartość \(x=-1\) nie mieści się w przedziale \((-1,3)\), za to drugie rozwiązanie \(x=1\) się w tym przedziale mieści, czyli tylko \(x=1\) jest miejscem zerowym.

Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$x+5=0$$ $$x=-5$$

Wartość \(x=-5\) nie mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem nie jest ona miejscem zerowym.

Krok 4. Obliczenie liczby miejsc zerowych.
Z naszym obliczeń wynika zatem, że tylko \(x=-2\) oraz \(x=1\) są miejscami zerowymi, zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Zgodnie z treścią zadania musimy podstawić do wzoru wartość \(x=2\). W ten sposób wyznaczymy poszukiwaną wartość funkcji.
$$f(2)=\frac{2\cdot2}{2-1}$$ $$f(2)=\frac{4}{1}$$ $$f(2)=4$$

Wykres funkcji \(g\) jest przesunięciem funkcji \(f\) o jedno miejsce w dół, zatem:
$$g(x)=f(x)-1$$

Aby obliczyć współczynnik \(b\) wystarczy poprawnie skorzystać z informacji \(f(4)=-1\). Wiemy, że funkcja dla argumentu \(x=4\) przyjmuje wartość \(-1\), więc podstawiając te dane do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(x)=\frac{2x-b}{x-9}$$ $$-1=\frac{2\cdot4-b}{4-9}$$ $$-1=\frac{8-b}{-5} \quad\bigg/\cdot(-5)$$ $$5=8-b$$ $$b=3$$

Miejsce zerowe to taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Możemy sprawdzić każdą z odpowiedzi po kolei, podstawiając poszczególne liczby do wzorów funkcji (pamiętając jedynie o tym, by do dobrego wzoru podstawić poszczególne argumenty - tu musimy zobaczyć do jakiego przedziału należy nasz podstawiany \(x\)). Jeżeli tak będziemy chcieli podejść do tego zadania, to:
Dla \(x=-4\) mamy pierwszy wzór, czyli \((-4)^2-1=15\)
Dla \(x=-2\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-2)+10=0\)
Dla \(x=-1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-1)+10=5\)
Dla \(x=1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot1+10=15\)

W ten oto sposób obliczyliśmy, że wartość funkcji jest równa \(0\) dla argumentu \(x=-2\).

Jeżeli chcemy to miejsce zerowe wyliczyć samodzielnie, to musimy sprawdzić po kolei każdy z trzech wzorów, przyrównując każde z wyrażeń do zera.
Pierwsze wyrażenie:
\(x^2-1=0\)
\(x^2=1\)
\(x=1 \quad\lor\quad x=-1\)

Obydwa rozwiązania nie mieszczą się w przedziale \(x\in (-\infty,-4 \rangle\), zatem obydwa przypadki odrzucamy.

Drugie wyrażenie:
\(5x+10=0\)
\(5x=-10\)
\(x=-2\)

Rozwiązanie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym funkcji.

Trzecie wyrażenie:
\(x+4=0\)
\(x=-4\)

Rozwiązanie nie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem ten przypadek odrzucamy.

Zadanie możemy rozwiązać podstawiając współrzędne każdego z punktów do wzoru funkcji. Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce \(x\), a drugą w miejsce \(f(x)\). Punktem należącym do wykresu będzie ten, który spełni powstałą równość (czyli tak naprawdę wtedy kiedy nie wyjdzie nam równanie sprzeczne).

Można jednak to zadanie zrobić nieco sprytniej, dostrzegając że we wszystkich odpowiedziach pierwszą współrzędną punktu jest \(x=-1\). To oznacza, że nie musimy podstawiać każdego z punktów pod wzór funkcji. Wystarczy tak naprawdę obliczyć wartość \(f(-1)\), zatem:
$$f(-1)=(-1)^2+(-1)-2$$ $$f(-1)=1-1-2$$ $$f(-1)=-2$$

To oznacza, że druga współrzędna to \(y=-2\), czyli prawidłowa jest ostatnia odpowiedź \((-1;-2)\).