Metody rozwiązywania układów równań

Współczynniki przy $y$ są przeciwne, więc najszybciej dodać równania stronami:

$$(x+y)+(x-y)=7+1 \quad\Rightarrow\quad 2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Podstawiamy $x=4$ do pierwszego równania:

$$4+y=7 \quad\Rightarrow\quad y=3$$

Sprawdzenie w obu równaniach: $4+3=7$ ✔ oraz $4-3=1$ ✔

Odpowiedź: B. $x=4$, $y=3$.

Krok 1. Pierwsze równanie już podaje $y$, więc wstawiamy je do drugiego:

$$3x+(2x-1)=9$$

Krok 2 — redukujemy wyrazy podobne:

$$5x-1=9 \quad\Rightarrow\quad 5x=10 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — wracamy po $y$:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $3\cdot2+3=9$ ✔

Odpowiedź: $x=2$, $y=3$.

Krok 1. Przy $y$ stoją już współczynniki przeciwne ($+3$ i $-3$), więc dodajemy równania stronami:

$$6x=18 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — podstawiamy do pierwszego równania:

$$2\cdot3+3y=12 \quad\Rightarrow\quad 3y=6 \quad\Rightarrow\quad y=2$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $4\cdot3-3\cdot2=12-6=6$ ✔

Odpowiedź: $x=3$, $y=2$.

Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $2$ — obie proste to ta sama prosta.

$$2x+2y=8 \quad\Longleftrightarrow\quad x+y=4$$

Każdy punkt tej prostej spełnia oba równania, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele. Taki układ nazywamy nieoznaczonym.

Jak to rozpoznać rachunkowo: po odjęciu równań otrzymamy tożsamość $0=0$.

Odpowiedź: C.

Ta sama suma $x+y$ nie może być jednocześnie równa $3$ i $5$.

Odejmując równania stronami, otrzymujemy sprzeczność:

$$0=2$$

Geometrycznie: obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne — są równoległe i różne, więc nie mają punktu wspólnego. Taki układ nazywamy sprzecznym.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — dobieramy mnożnik. Aby współczynniki przy $y$ były przeciwne, mnożymy pierwsze równanie przez $2$:

$$6x+4y=32$$

Krok 2 — dodajemy do drugiego równania:

$$(6x+4y)+(5x-4y)=32+(-10) \quad\Rightarrow\quad 11x=22 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — wyznaczamy $y$:

$$3\cdot2+2y=16 \quad\Rightarrow\quad 2y=10 \quad\Rightarrow\quad y=5$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $5\cdot2-4\cdot5=10-20=-10$ ✔

Odpowiedź: $x=2$, $y=5$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ będzie większą, a $y$ mniejszą liczbą.

$$\begin{cases} x+y=30 \\ x-y=8 \end{cases}$$

Krok 2 — dodajemy równania stronami:

$$2x=38 \quad\Rightarrow\quad x=19$$

Krok 3 — wyznaczamy drugą liczbę:

$$19+y=30 \quad\Rightarrow\quad y=11$$

Sprawdzenie: $19+11=30$ ✔ oraz $19-11=8$ ✔

Odpowiedź: liczby to $19$ i $11$.

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość $y$, więc przyrównujemy prawe strony:

$$2x+1=-x+7$$

Porządkujemy równanie:

$$3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Obliczamy $y$:

$$y=2\cdot2+1=5$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-2+7=5$ ✔

Odpowiedź: D. $(2,\,5)$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $z$ to cena zeszytu, a $d$ cena długopisu:

$$\begin{cases} 3z+2d=18 \\ 2z+5d=23 \end{cases}$$

Krok 2 — mnożymy tak, aby wyeliminować $z$. Pierwsze przez $2$, drugie przez $3$:

$$\begin{cases} 6z+4d=36 \\ 6z+15d=69 \end{cases}$$

Krok 3 — odejmujemy stronami (znika $z$):

$$11d=33 \quad\Rightarrow\quad d=3$$

Krok 4 — cena zeszytu. Podstawiamy $d=3$ do pierwszego równania:

$$3z+2\cdot3=18 \quad\Rightarrow\quad 3z=12 \quad\Rightarrow\quad z=4$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $2\cdot4+5\cdot3=8+15=23$ ✔

Odpowiedź: zeszyt kosztuje $4$ zł, a długopis $3$ zł.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $ch$ to liczba chłopców, a $dz$ liczba dziewcząt:

$$\begin{cases} ch+dz=28 \\ dz=ch+4 \end{cases}$$

Krok 2 — podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

$$ch+(ch+4)=28 \quad\Rightarrow\quad 2ch+4=28 \quad\Rightarrow\quad 2ch=24 \quad\Rightarrow\quad ch=12$$

Krok 3 — liczba dziewcząt:

$$dz=12+4=16$$

Sprawdzenie: $12+16=28$ ✔, a różnica $16-12=4$ ✔

Kontrola sensu: obie liczby są całkowite i dodatnie, więc wynik ma sens.

Odpowiedź: $12$ chłopców i $16$ dziewcząt.

Aby oba równania opisywały tę samą prostą, drugie musi być pierwszym pomnożonym przez tę samą liczbę.

Lewa strona drugiego równania to lewa strona pierwszego pomnożona przez $2$:

$$2x+2y=2(x+y)$$

Zatem prawa strona też musi być pomnożona przez $2$:

$$m=2\cdot5=10$$

Dla porównania: przy każdym innym $m$ proste są równoległe i różne, więc układ jest sprzeczny.

Odpowiedź: B. $m=10$.

Krok 1 — pozbywamy się ułamków. Mnożymy pierwsze równanie przez $6$ (wspólny mianownik):

$$3x+2y=24$$

Krok 2 — z drugiego równania wyznaczamy $x$:

$$x=y+2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$3(y+2)+2y=24 \quad\Rightarrow\quad 3y+6+2y=24 \quad\Rightarrow\quad 5y=18 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{18}{5}$$

Krok 4 — wyznaczamy $x$:

$$x=\frac{18}{5}+2=\frac{28}{5}$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $\frac{28}{5}-\frac{18}{5}=\frac{10}{5}=2$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{28}{5}=5{,}6$, $y=\frac{18}{5}=3{,}6$.

Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny prostych. Brak rozwiązań oznacza brak punktu wspólnego, a to zdarza się tylko dla prostych równoległych i różnych.

Pełne zestawienie:

• jedno rozwiązanie — proste przecinają się (układ oznaczony)
• brak rozwiązań — proste równoległe różne (układ sprzeczny)
• nieskończenie wiele — proste pokrywają się (układ nieoznaczony)

Odpowiedź: A.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $v$ to prędkość własna motorówki, a $p$ prędkość prądu.

Z prądem prędkości się dodają, pod prąd — odejmują:

$$\begin{cases} (v+p)\cdot2=30 \\ (v-p)\cdot3=30 \end{cases}$$

Krok 2 — upraszczamy oba równania:

$$\begin{cases} v+p=15 \\ v-p=10 \end{cases}$$

Krok 3 — dodajemy stronami:

$$2v=25 \quad\Rightarrow\quad v=12{,}5$$

Krok 4 — prędkość prądu:

$$12{,}5+p=15 \quad\Rightarrow\quad p=2{,}5$$

Sprawdzenie: z prądem $15$ km/h przez $2$ h to $30$ km ✔, pod prąd $10$ km/h przez $3$ h to $30$ km ✔

Odpowiedź: prędkość własna $12{,}5$ km/h, prędkość prądu $2{,}5$ km/h.