Liczby rzeczywiste — zadania rozszerzone

Sposób I — rozwinięcie kwadratów.

\((3x+y)^2=9x^2+6xy+y^2\)

\((3x-y)^2=9x^2-6xy+y^2\)

\((3x+y)^2-(3x-y)^2=12xy\)

Sposób II — wzór na różnicę kwadratów.

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) dla \(a=3x+y\), \(b=3x-y\):

\(\left[(3x+y)-(3x-y)\right]\cdot\left[(3x+y)+(3x-y)\right]=2y\cdot 6x=12xy\)

Odpowiedź: A.

Rozwijamy kwadrat sumy:

\(\left(\sqrt{3}+1\right)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}\)

Wyłączamy czynnik spod drugiego pierwiastka:

\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\)

Odejmujemy:

\(4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\)

Odpowiedź: D.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\(\left(2\sqrt{10}\right)^2=4\cdot 10=40\)

\(2\cdot 2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{20}=4\cdot 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}\)

\(\left(\sqrt{2}\right)^2=2\)

Sumujemy:

\(40+8\sqrt{5}+2=42+8\sqrt{5}\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Wyrażenie w nawiasie — wzór na różnicę kwadratów.

Dla \(a=\sqrt{3}-1\) i \(b=\sqrt{3}+1\):

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\(a-b=\left(\sqrt{3}-1\right)-\left(\sqrt{3}+1\right)=-2\)

\(a+b=2\sqrt{3}\)

\(a^2-b^2=-2\cdot 2\sqrt{3}=-4\sqrt{3}\)

Krok 2. Podniesienie do sześcianu.

\(\left(-4\sqrt{3}\right)^3=-64\cdot 3\sqrt{3}=-192\sqrt{3}\)

Odpowiedź: D.

Korzystamy ze wzoru \(\sqrt{a^2}=|a|\).

Pierwszy składnik:

Ponieważ \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\gt 1\), mamy \(1-\sqrt{2}\lt 0\), więc:

\(\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}=\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1\)

Drugi składnik:

Ponieważ \(\sqrt{2}\lt 2\), mamy \(2-\sqrt{2}\gt 0\), więc:

\(\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}=2-\sqrt{2}\)

Suma:

\(\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)=1\)

Odpowiedź: A.

Krok 1. Wzór skróconego mnożenia. Oznaczmy $u=\sqrt{2-\sqrt3}$ oraz $v=\sqrt{2+\sqrt3}$. Wtedy

$$(u-v)^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}.$$

Krok 2. Kwadraty.

$$u^{2}=2-\sqrt3,\qquad v^{2}=2+\sqrt3,\qquad u^{2}+v^{2}=4.$$

Krok 3. Iloczyn. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów pod pierwiastkiem:

$$uv=\sqrt{\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$(u-v)^{2}=4-2\cdot 1=2.$$

Uwaga: obie liczby $2\pm\sqrt3$ są dodatnie, więc pierwiastki są dobrze określone.

Odpowiedź: A

Krok 1. Podniesienie do kwadratu.

Obie strony nierówności są dodatnie (jako sumy i iloczyny pierwiastków z liczb dodatnich), więc możemy je podnieść do kwadratu — otrzymamy nierówność równoważną:

\((a+b)(c+d)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\)

\(ac+ad+bc+bd\ge ac+2\sqrt{ac}\cdot\sqrt{bd}+bd\)

Krok 2. Uproszczenie.

\(ad+bc\ge 2\sqrt{abcd}\)

Zauważmy, że \(\sqrt{abcd}=\sqrt{ad}\cdot\sqrt{bc}\), więc nierówność przyjmuje postać:

\(ad+bc-2\sqrt{ad}\cdot\sqrt{bc}\ge 0\)

Krok 3. Wzór skróconego mnożenia.

\(\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\ge 0\)

Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c,d\), a ponieważ wszystkie przejścia były równoważne, dana nierówność również jest prawdziwa.

Uwaga: równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(ad=bc\). \(\blacksquare\)

Krok 1. Wzór skróconego mnożenia.

$$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3},$$

gdzie $a=3$ oraz $b=2\sqrt{3}$.

Krok 2. Kolejne składniki.

$$a^{3}=27,$$

$$3a^{2}b=3\cdot 9\cdot 2\sqrt{3}=54\sqrt{3},$$

$$3ab^{2}=3\cdot3\cdot\left(2\sqrt{3}\right)^{2}=9\cdot 12=108,$$

$$b^{3}=\left(2\sqrt{3}\right)^{3}=8\cdot 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}.$$

Krok 3. Złożenie.

$$\left(3-2\sqrt{3}\right)^{3}=27-54\sqrt{3}+108-24\sqrt{3}=135-78\sqrt{3}.$$

Odpowiedź: C