Liczby naturalne i podzielność

Do zadania możemy podejść na różne sposoby (teoretycznie możemy nawet wypisać wszystkie interesujące nas liczby). Najlepszą metodą będzie potraktowania tego zadania tak, jakby był to ciąg arytmetyczny. Pomoże nam w tym wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Najmniejszą liczba dwucyfrową podzielną przez \(3\) jest \(12\), więc moglibyśmy zapisać, że \(a_{1}=12\). Różnica ciągu jest równa \(r=3\) (bo co trzeci wyraz będzie podzielny przez \(3\)). Chcemy, by wartość \(a_{n}\) była mniejsza od \(77\), zatem:
$$a_{1}+(n-1)r\lt77$$ $$12+(n-1)\cdot3\lt77$$ $$12+3n-3\lt77$$ $$9+3n\lt77$$ $$3n\lt68$$ $$n\lt22\frac{2}{3}$$

Co ten wynik oznacza? W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a skoro z nierówności wyszło nam, że \(n\lt22\frac{2}{3}\), to interesującymi nas rozwiązaniami będą \(n\in\{1,2,3,...,21,22\}\). To oznacza, że będziemy mieć dokładnie \(22\) liczby, które spełniają warunki zadania.

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale trzeba tutaj być wyjątkowo precyzyjnym, bo widzimy że poszczególne pary odpowiedzi różnią się zaledwie o jedną liczbę. Spróbujmy zatem wyznaczyć ilość tych liczb w taki sposób, by nie mieć wątpliwości czy wszystkie liczby zostały uwzględnione.

W tym celu wystarczy potraktować to zadanie jak ciąg arytmetyczny w którym \(r=4\) (bo co czwarta liczba jest podzielna przez \(4\)), \(a_{1}=1000\) (bo jest to najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez \(4\)) oraz \(a_{n}=2016\) (bo jest to największa liczba czterocyfrowa, która jest mniejsza od \(2020\) i która jest podzielna przez \(4\).

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ $$2016=1000+(n-1)\cdot4$$ $$2016=1000+4n-4$$ $$2016=996+4n$$ $$4n=1020$$ $$n=255$$

To oznacza, że mamy \(255\) poszukiwanych wyrazów.

Liczby czterocyfrowe mniejsze od \(2017\) to:
$$1000,1001,1002,...,2015,2016$$

Ile jest tych liczb? Jak wykonamy odejmowanie \(2016-1000\) to otrzymamy zły wynik. Wydaje się to nielogiczne, ale zastanówmy się co by było, gdyby zadanie brzmiało: "ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych od \(1002\)?". My wiemy że są tylko dwie takie liczby: \(1000\) oraz \(1001\). Gdybyśmy wtedy wykonali działanie \(1001-1000\) to także wyszłaby nam nieprawda.

Jak więc do tego zadania podejść poprawnie? Wszystkich liczb naturalnych mniejszych od \(2017\) jest \(2016\), bo są to liczby od \(1\) do \(2016\). Od tej puli \(2016\) liczb naturalnych musimy odrzucić \(999\) liczb, które nie są czterocyfrowe (od \(1\) do \(999\)) i wtedy dowiemy się ile jest liczb czterocyfrowych mniejszych od \(2017\). Zatem:
$$2016-999=1017$$

Wiemy, że liczba \(a\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), zatem możemy ją zapisać w postaci \(a=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(2a^2\) otrzymamy:
$$2a^2=2\cdot(7n+2)^2=2\cdot(49n^2+28n+4)=98n^2+56n+8$$

Jak teraz udowodnić, że ta otrzymana przed chwilą liczba dzieli się przez przez \(7\), dając resztę \(1\)? Moglibyśmy wyłączyć siódemkę przed nawias (\(98:7\) to \(14\), a \(56:7=8\)), ale przeszkadza nam w tym \(8\), która nie dzieli się przez \(7\). Rozbijmy sobie zatem \(8\) na sumę \(7+1\) i zapiszmy, że:
$$98n^2+56n+7+1=7\cdot(14n^2+8n+1)+1$$

Otrzymany wynik mówi nam, że dzieląc całe wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę naturalną (opisaną jako \(14n^2+8n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(1\) reszty, co należało właśnie udowodnić.

Liczby czterocyfrowe mniejsze od \(2017\) to:
$$1000,1001,1002,...,2015,2016$$

Ile jest tych liczb? Jak wykonamy odejmowanie \(2016-1000\) to otrzymamy zły wynik. Wydaje się to nielogiczne, ale zastanówmy się co by było, gdyby zadanie brzmiało: "ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych od \(1002\)?". My wiemy że są tylko dwie takie liczby: \(1000\) oraz \(1001\). Gdybyśmy wtedy wykonali działanie \(1001-1000\) to także wyszłaby nam nieprawda.

Jak więc do tego zadania podejść poprawnie? Wszystkich liczb naturalnych mniejszych od \(2017\) jest \(2016\), bo są to liczby od \(1\) do \(2016\). Od tej puli \(2016\) liczb naturalnych musimy odrzucić \(999\) liczb, które nie są czterocyfrowe (od \(1\) do \(999\)) i wtedy dowiemy się ile jest liczb czterocyfrowych mniejszych od \(2017\). Zatem:
$$2016-999=1017$$

I sposób - z wykorzystaniem ciągów arytmetycznych.
To chyba najbardziej profesjonalny sposób. Liczby podzielne przez \(3\) tworzą ciąg arytmetyczny, którego \(r=3\), \(a_{1}=12\) (bo \(12\) jest pierwszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(3\)) oraz \(a_{n}=99\). Musimy teraz obliczyć ile wyrazów ma ten ciąg, tak więc skorzystamy z następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ $$99=12+(n-1)\cdot3$$ $$87=3n-3$$ $$90=3n$$ $$n=30$$

II sposób - z wykorzystaniem mnożenia i dzielenia.
Tak naprawdę każdą liczbę podzielną przez \(3\) możemy zapisać jako iloczyny kolejnych liczb naturalnych:
$$3=3\cdot1$$ $$6=3\cdot2$$ $$...$$ $$96=3\cdot32$$ $$99=3\cdot33$$

Liczb podzielnych mniejszych od \(100\) jest więc \(33\). Musimy od tego odjąć jeszcze trzy sztuki, które dają wyniki jednocyfrowe (\(3,6,9\)) i w ten sposób obliczyliśmy, że liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(3\) jest \(33-3=30\).

Musimy odpowiedzieć tak naprawdę na pytanie - jakie są ostatnie cyfry liczb, które są wynikami podniesienia liczby do kwadratu. Przykładowo:
Liczby zakończone na \(2\):
$$2^2=\color{blue}{4}$$ $$72^2=518\color{blue}{4}$$ $$82^2=672\color{blue}{4}$$ $$92^2=846\color{blue}{4}$$

Liczby zakończone na \(3\):
$$3^2=\color{blue}{9}$$ $$73^2=532\color{blue}{9}$$ $$83^2=688\color{blue}{9}$$ $$93^2=864\color{blue}{9}$$

Liczby zakończone na \(9\):
$$9^2=8\color{blue}{1}$$ $$79^2=624\color{blue}{1}$$ $$89^2=792\color{blue}{1}$$ $$99^2=980\color{blue}{1}$$

Widzimy wyraźnie, że istnieje zbieżność, między ostatnią cyfrą liczby podniesioną do kwadratu, a kwadratem tej liczby. Gdybyśmy rozpatrzyli tak wszystkie możliwe przypadki (końcówki liczb od \(0\) do \(9\)) to zauważymy, że:
Ostatnia cyfra \(0\) - Kwadrat liczby kończy się na \(0\)
Ostatnia cyfra \(1\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)
Ostatnia cyfra \(2\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(3\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(4\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(5\) - Kwadrat liczby kończy się na \(5\)
Ostatnia cyfra \(6\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(7\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(8\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(9\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)

Z naszych rozważań wynika, że na końcach kwadratów znaleźć się może jedna z sześciu liczb: \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). W związku z tym zbiór wartości funkcji \(f\) składa się z \(6\) elementów.

Liczby trzycyfrowe podzielne przez \(5\) możemy rozpatrywać jako ciąg arytmetyczny, w którym:
\(a_{1}=100\) (bo jest to najmniejsza liczba trzycyfrowa podzielna przez \(5\))
\(a_{n}=995\) (bo jest to największa liczba trzycyfrowa podzielna przez \(5\))
\(r=5\) (bo każda kolejna liczba jest o \(5\) większa od swojej poprzedniczki)

Otrzymamy zatem:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ $$995=100+(n-1)\cdot5$$ $$895=5n-5$$ $$900=5n$$ $$n=180$$