Kąty i trójkąty

Krok 1. Obliczenie miary \(\alpha\).
Suma wszystkich kątów w trójkącie wynosi \(180°\), zatem:
$$\alpha+4\alpha+\alpha+30°=180°$$ $$6\alpha=150°$$ $$\alpha=25°$$

Krok 2. Obliczenie miar kątów w trójkącie.
Wiemy już, że \(\alpha=25°\) i zgodnie z oznaczeniami jest to pierwszy z kątów w tym trójkącie. Musimy jeszcze obliczyć miarę pozostałych kątów, zatem:
$$4\alpha=4\cdot25°=100°$$
$$\alpha+30°=25°+30°=55°$$

Szukamy miary największego kąta, zatem widzimy, że będzie ona równa \(100°\).

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(DCE\).
Kąt \(DCE\) będzie sumą kąta prostego \(DCB\) oraz kąta \(BCE\) o mierze \(60°\) (wiemy, że ten kąt ma miarę \(60°\), bo trójkąt \(BEC\) jest równoboczny). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle DCE|=90°+60°=150°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(DEC\).
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro więc kąt między ramionami ma \(150°\), to na kąty przy podstawie zostaje nam łącznie \(180°-150°=30°\). To oznacza, że kąt \(DEC\) ma miarę:
$$|\sphericalangle DCE|=30°:2°=15°$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro trójkąty \(ACE\) i \(BDF\) są równoboczne (czyli mają wszystkie kąty o mierze \(60°\)), a przekątne kwadratu tworzą z bokami kąty \(45°\), to sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie miar poszczególnych kątów.
Korzystając z rysunku możemy teraz obliczyć miarę np. kąta \(CDF\):
$$|\sphericalangle CDF|=60°-45°=15°$$

Można więc powiedzieć, że w takim razie w trójkącie równoramiennym \(CDG\) kąty przy podstawie mają \(15°\), zatem kąt \(CGD\) ma:
$$|\sphericalangle CGD|=180°-15°-15°=150°$$

Spójrzmy teraz na kąt \(CGF\). Jest on kątem przystającym do kąta \(CGD\), zatem jego miara jest równa:
$$|\sphericalangle CGF|=180°-150°=30°$$

Bardzo podobnie możemy obliczyć miarę kąta \(FCG\).
$$|\sphericalangle FCG|=180°-45°-15°=120°$$

I teraz spoglądamy na trójkąt \(CGF\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie i są to kąty o mierze \(30°\) oraz \(120°\), zatem trzeci kąt ma miarę:
$$|\sphericalangle FCG|=180°-120°-30°=30°$$

To oznacza, że kąty przy boku \(FG\) mają jednakową miarę, czyli że trójkąt \(CGF\) jest równoramienny. Skoro tak, to faktycznie \(|CG|=|CF|\), co należało udowodnić.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy zauważyć, że jeden z boków trójkąta opiera się na średnicy okręgu, a to pozwala nam stwierdzić, że cały duży trójkąt (nazwijmy go \(ABC\)) jest prostokątny.


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Zwróćmy uwagę, że trójkąt \(AOB\) z zaznaczonym kątem \(\alpha\) jest równoboczny, czyli każdy kąt tego trójkąta ma miarę \(60°\). Skąd to wiemy? Widzimy wyraźnie, że każdy bok tego trójkąta ma jednakową długość promienia i właśnie ta obserwacja pozwala nam błyskawicznie wyznaczyć, że \(\alpha=60°\). Teoretycznie moglibyśmy już zakończyć rozwiązywanie tego zadania (bo pasuje już tylko jedna odpowiedź), ale spróbujmy jeszcze samodzielnie obliczyć pozostałe miary kątów.

Krok 3. Obliczenie miar kątów \(\beta\) oraz \(\gamma\).
Skoro kąt \(ACB\) ma miarę \(90°\), a kąt \(ACO\) ma miarę \(60°\), to kąt \(\gamma\) będzie mieć miarę:
$$\gamma=90°-60°=30°$$

Trójkąt \(OBC\) jest równoramienny (ramiona \(OB\) oraz \(OC\) mają długość równą promieniowi okręgu), a skoro tak, to kąty przy boku \(BC\) muszą mieć jednakową miarę. W związku z tym możemy stwierdzić, że \(\beta=30°\).

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CDB\).
Spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Z treści zadania możemy wywnioskować, że jest to trójkąt równoramienny, ponieważ \(|BC|=|BD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(DC\) mają jednakową miarę, a to oznacza, że:
$$|\sphericalangle CDB|=72°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ADC\).
Kąt \(ADC\) oraz obliczony przed chwilą \(CDB\) to kąty przyległe, czyli takie których suma miar jest równa \(180°\). Możemy więc zapisać, że:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-72°=108°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ACD\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADC\). To także jest trójkąt równoramienny, bowiem \(|AD|=|CD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(AC\) muszą mieć jednakową miarę. Wiemy już, że kąt \(ADC\) ma miarę \(108°\), czyli na dwa kąty przy podstawie \(AC\) zostaje nam: \(180°-108°=72°\). Skoro kąty przy podstawie \(AC\) muszą być jednakowej miary to:
$$|\sphericalangle ACD|=72°:2=36°$$

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(OBC\).
Z treści zadania wynika, że nasz trójkąt jest równoramienny, a skoro tak, to kąty przy jego podstawie będą miały jednakową miarę. To z kolei oznacza, że kąt \(|\sphericalangle ABC|=70°\). Przez ten kąt \(ABC\) poprowadzono dwusieczną kąta, zatem:
$$|\sphericalangle OBC|=70°:2$$ $$|\sphericalangle OBC|=35°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(COB\).
Skoro kąty przy podstawie mają po \(70°\), to:
$$|\sphericalangle ACB|=180°-70°-70°=40°$$

Przez ten kąt poprowadzono dwusieczną kąta, zatem:
$$|\sphericalangle COB|=40°:2$$ $$|\sphericalangle COB|=20°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Spójrzmy na trójkąt \(COB\). Znamy już miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem:
$$α=180°-35°-20°$$ $$α=125°$$

Krok 1. Obliczenie miar kątów znajdujących się przy podstawie.
W treści zadania podany jest kąt między ramionami, zatem kąty przy podstawie będą mieć łącznie:
$$180°-44°=136°$$

Skoro jest to trójkąt równoramienny, to kąty przy podstawie będą mieć jednakową miarę, czyli każdy z kątów będzie miał:
$$136°:2=68°$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Znamy już miary wszystkich kątów naszego trójkąta równoramiennego. Jeżeli zgodnie z treścią zadania narysujemy jeszcze dwusieczną kąta z wierzchołka \(A\), to otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ADC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Znamy miary dwóch kąt tego trójkąta: \(34°\) oraz \(44°\). Skoro suma kątów w trójkącie to \(180°\) to kąt \(ADC\) ma miarę:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-34°-44°=102°$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CAB\).
Z trójkąta \(ABC\) jesteśmy wyznaczyć miarę kąta \(CAB\):
$$|\sphericalangle CAB|=180°-90°-50°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kątów \(ACD\) oraz \(DAC\).
Musimy zauważyć, że kąty \(ACD\) i \(DAC\) będą miały równą miarę. Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że \(|AD|=|DC|\), co sugeruje nam że trójkąt \(ACD\) jest równoramienny, a w takim trójkącie kąty przy podstawie są równej miary.

Z własności kątów naprzemianległych wiemy, że kąty \(CAB\) oraz \(ACD\) mają równą miarę. W związku z tym:
$$|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DAC|=40°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ADC\) (czyli \(β\)).
Znając kąty \(ACD\) i \(DAC\) bez problemu wyliczymy miarę naszego kąta \(β\):
$$β=180°-40°-40°=100°$$

Oznaczmy sobie poszczególne miary kątów jako \(3α, 4α, 5α\). Skoro są to kąty wewnątrz trójkąta, to prawdziwa będzie równość:
$$3α+4α+5α=180°$$ $$12α=180°$$ $$α=15°$$

Najmniejszy kąt miał miarę \(3α\), a więc \(3\cdot15=45°\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro \(|BD|=|CD|\), to znaczy że trójkąt \(DBC\) jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(BC\). Kąty przy podstawie mają jednakową miarę, zatem oznaczmy sobie \(\sphericalangle DBC\) oraz \(\sphericalangle DCB\) jako \(α\).

Wiemy też, że \(|AC|=|BC|\), a więc trójkąt \(ABC\) jest również równoramienny i tym samym także ma równe kąty przy podstawie. Jeden z kątów przy podstawie oznaczyliśmy już sobie przed chwilą jako \(α\), więc kąt \(\sphericalangle CAB\) także ma miarę równą \(α\).



Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BCD\).
Aby wyznaczyć miarę kąta \(α\) wystarczy dodać do siebie wszystkie kąty trójkąta \(ABC\), wiedząc że ich suma musi być równa \(180°\). To pozwala nam ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$α+α+21°+α=180°$$ $$3α+21°=180°$$ $$3α=159°$$ $$α=53°$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń.
Spójrzmy na trójkąt \(DEC\). Jest on na pewno równoramienny, co wynika bezpośrednio z treści zadania. Jeśli więc oznaczymy sobie \(|\sphericalangle CDE|=α\), to także \(|\sphericalangle DEC|=α\)

Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że w takim razie także \(|\sphericalangle BEF|=α\).

Dodatkowo oznaczmy sobie miarę kąta \(\sphericalangle EBF=β\).



Krok 2. Wyznaczenie wartości kątów \(ACB\), \(ABC\), \(BAC\) oraz \(AFD\).
Korzystając z wiedzy, że w każdym z trójkątów suma miar jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
\(|\sphericalangle ACB|=180°-2α\)
\(|\sphericalangle ABC|=180°-β \text{ (kąty przyległe)}\)
\(|\sphericalangle BAC|=180°-|\sphericalangle ACB|-|\sphericalangle ABC|=\)
\(=180°-(180°-2α)-(180°-β)=\)
\(=180°-180°+2α-180°+β=-180°+2α+β\)
\(|\sphericalangle AFD|=180°-α-β\)

Krok 3. Udowodnienie zależności podanej w treści zadania.
W drugim kroku obliczyliśmy sobie wartości każdego z potrzebnych kątów, zatem podstawmy te dane do równania z treści zadania i sprawdźmy, czy jest ono rzeczywiście prawdziwe.
$$|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot|\sphericalangle AFD|$$ $$-180°+2α+β=180°-β-2\cdot(180°-α-β)$$ $$-180°+2α+β=180°-β-(360°-2α-2β)$$ $$-180°+2α+β=180°-β-360°+2α+2β$$ $$-180°+2α+β=-180°+2α+β$$ $$L=P$$

Równość jest prawdziwa, co kończy nasz dowód.

Krok 1. Obliczenie miary wszystkich kątów wewnętrznych.
Suma kątów w \(n\)-kącie jest równa:
$$180°\cdot(n-2)$$

W związku z tym dziesięciokąt ma łącznie:
$$180°\cdot(10-2)=180°\cdot8=1440°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta dziesięciokąta foremnego.
Wielokąt foremny ma wszystkie kąty jednakowej miary. W związku z tym każdy kąt ma miarę:
$$1440°:10=144°$$

Suma kątów przyległych jest równa \(180°\). Z treści zadania wynika, że \(α=β+35°\), zatem możemy zapisać, że:
$$α+β=180°$$ $$β+35°+β=180°$$ $$2β=145°$$ $$β=72,5°$$

Wiedząc, że punkt \(E\) przecina odcinek \(BC\) na dwie równe części możemy z tego punktu narysować okrąg oparty na trójkącie prostokątnym \(DBC\).



Z własności trójkąta prostokątnego opisanego na okręgu wynika, że przeciwprostokątna trójkąta jest równa długości średnicy okręgu, a tym samym odcinki \(CE\) oraz \(EB\) mają długość równą długości promienia (patrz rysunek). Jeśli przypatrzymy się rysunkowi, to zobaczymy że także odcinek \(DE\) ma długość równą promieniowi (bo jest to odcinek od krawędzi okręgu do środka okręgu. Zatem wiemy już na pewno, że \(|CE|=|DE|=r\).

W treści zadania mamy podaną informację o tym, że \(|CD|=|DE|\), a skoro tak, to rzeczywiście trójkąt \(CDE\) jest równoboczny, a długość jego wszystkich boków jest równa długości promienia okręgu opisanego na trójkącie \(DBC\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy przedstawić sytuację z treści zadania na rysunku poglądowym:



Krok 2. Dostrzeżenie kątów naprzemianległych.
W trapezie podstawy są względem siebie równoległe, zatem prowadząc prostą przecinającą te proste równoległe (w naszym przypadku są to przekątne) możemy korzystać z własności kątów naprzemianległych i tak oto otrzymamy następującą sytuację:



Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt, który przy podstawie ma kąty tej samej miary \(α\). To oznacza, że jest to trójkąt równoramienny. Analogiczny wniosek dotyczy trójkąta \(BCD\). Możemy więc zapisać, że:
$$|AD|=|DC|$$ $$|DC|=|BC|$$

Łącząc te dwie równości możemy zapisać, że \(|AD|=|DC|=|BC|\), co oznacza, że odcinek \(AD\) jest równy odcinkowi \(BC\) i właśnie to jest dowód na to, że ten trapez jest równoramienny.

Skoro suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\), to na pewno suma miar dwóch poszukiwanych kątów musi być równa:
$$180°-54°=126°$$

Taka sytuacja jest w odpowiedzi pierwszej i trzeciej, ale w odpowiedzi pierwszej miara kąta mniejszego jest pięciokrotnie (a nie sześciokrotnie) mniejsza, więc już na podstawie tej prostej dedukcji możemy wybrać odpowiedź \(C\).

Chcąc policzyć to w bardziej matematyczny sposób możemy ułożyć proste równanie. Przyjmijmy, że \(x\) to miara mniejszego kąta, a tym samym \(6x\) to miara kąta większego:
$$x+6x+54°=180°$$ $$7x=126°$$ $$x=18°$$

Kąt mniejszy: \(18°\)
Kąt większy: \(6\cdot18°=108°\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W tym zadaniu bardzo ważne jest to jak sobie oznaczymy poszczególne informacje. Oznaczmy więc sobie wszystko krok po kroku. Najpierw na rysunku nanieśmy kąty w naszym małym trójkącie \(APB\):
$$|\sphericalangle PAB|=α$$ $$|\sphericalangle PBA|=β$$ $$|\sphericalangle APB|=γ$$

Skoro dorysowane linie są dwusiecznymi, to także:
$$|\sphericalangle PAB|=α$$ $$|\sphericalangle PBC|=β$$

No i na koniec oznaczmy jeszcze ostatni kąt:
$$|\sphericalangle ACB|=δ$$



Krok 2. Zapisanie odpowiednich równań i nierówności.
Suma kątów trójkąta \(ABC\) jest równa \(180°\). Czyli:
$$2α+2β+δ=180°$$

Kąt \(δ\) jest na pewno dodatni (nie wiemy ile ma stopni, ale jest na pewno dodatni). To oznacza, że suma kątów \(2α+2β\) jest mniejsza od \(180°\). Matematycznie możemy to zapisać jako:
$$2α+2β\lt180° \quad\bigg/:2$$ $$α+β\lt90°$$

Krok 3. Zakończenie dowodu.
Nie wiemy jaka jest dokładna miara poszczególnych kątów, ale już wiemy, że suma kątów \(α+β<90°\). Spójrzmy teraz na mały trójkąt \(APB\). Tutaj suma kątów \(α+β+γ=180°\). Skoro suma \(α+β\) jest mniejsza od \(90°\), to kąt \(γ\) musi mieć więcej niż \(90°\) i w ten sposób możemy zakończyć nasz dowód.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro podstawy tego czworokąta są równoległe to otrzymamy tak naprawdę trapez. Zadanie można udowodnić na wiele sposobów, ale najprostszy wykorzystuje informację, że suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu jest równa \(180°\). To oznacza, że jeśli \(|\sphericalangle ABC|=α\) to \(|\sphericalangle BCD|=180°-α\) i tak też zaznaczmy sobie na naszym szkicowym rysunku:



Dodatkowo na niebiesko i zielono zaznaczyliśmy sobie pary boków równej długości (zgodnie z treścią zadania).

Krok 2. Obliczenie miar kątów \(BEA\) oraz \(CED\).
Rozpatrzmy sobie teraz dwa trójkąty - \(ABE\) oraz \(DCE\). Suma kątów w każdym z tych trójkątów jest równa oczywiście \(180°\). Dodatkowo z treści zadania i z rysunku pomocniczego wynika, że są to trójkąty równoramienne, bo \(|EC|=|CD|\) i \(|EB|=|BA|\). Skoro tak, to z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawach mają tą samą miarę, a więc:
$$|\sphericalangle BAE|=|\sphericalangle BEA|$$ $$\text{oraz}$$ $$|\sphericalangle CDE|=|\sphericalangle CED|$$

Co to oznacza? Jeśli w trójkącie \(ABE\) jeden kąt między ramionami ma miarę \(α\), to dwa pozostałe przy podstawie \(|AE|\) mają łącznie \(180°-α\). Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe, to \(|\sphericalangle BEA|=\frac{180°-α}{2}\).

Analogicznie rozpatrzymy trójkąt \(DCE\). Tutaj jeden kąt między ramionami ma miarę \(180°-α\), więc dwa pozostałe przy podstawie \(|DE|\) mają \(180°-(180°-α)=α\). Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe sobie równe to \(|\sphericalangle CED|=\frac{α}{2}\).

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(AED\).
Z twierdzenia o kątach przyległych wiemy, że:
$$|\sphericalangle BEA|+|\sphericalangle CED|+|\sphericalangle AED|=180°$$

Znamy wartości dwóch z tych kątów (wyliczyliśmy je w drugim kroku), więc bez problemu wyliczymy teraz wartość kąta \(AED\).
$$\frac{180°-α}{2}+\frac{α}{2}+|\sphericalangle AED|=180° \quad\bigg/\cdot 2$$ $$180°-α+α+2\cdot |\sphericalangle AED|=360°$$ $$2\cdot |\sphericalangle AED|=180°$$ $$|\sphericalangle AED|=90°$$

Trójkąt ma sumę kątów równą \(180°\).
Czworokąt ma sumę kątów \(360°\).
Pięciokąt ma sumę katów \(540°\).