Funkcja różnowartościowa

Rozwiązanie

1. Na $[-4,2]$ wartości $[-2,4]$; na $(2,5)$ wartości $(0,3)$. Suma: $[-2,4]$.
2. $x+2>1\Rightarrow x>-1$ (dla $x\le2$), oraz $-x+5>1\Rightarrow x\lt 4$ (dla $x>2$). Razem $(-1,4)$.

Odpowiedzi: 1) $[-2,4]$, 2) $(-1,4)$.

1. Miejsce zerowe.

Sprawdzamy oba wzory:

dla \(x\in(-5,-3]\): \(-2x-10=0\Rightarrow x=-5\), ale \(-5\) nie należy do tego przedziału — odrzucamy,

dla \(x\in(-3,4]\): \(x-1=0\Rightarrow x=1\), a \(1\in(-3,4]\) ✓

Miejscem zerowym jest liczba \(1\).

2. Wartość wyrażenia.

Liczby \(-2\) oraz \(2\) należą do przedziału \((-3,4]\), więc korzystamy ze wzoru \(f(x)=x-1\):

\(f(-2)=-2-1=-3\)

\(f(2)=2-1=1\)

\(f(-2)+3\cdot f(2)=-3+3\cdot 1=0\)

Odpowiedź: 1. \(1\), 2. \(0\)

1. Zbiór wartości.

Na przedziale \((-5,-3]\) funkcja \(f(x)=-2x-10\) jest malejąca: dla \(x\) bliskich \(-5\) wartości są bliskie \(0\) (ale \(0\) nie jest osiągane), a dla \(x=-3\) mamy \(f(-3)=-4\). Otrzymujemy wartości z przedziału \([-4,0)\).

Na przedziale \((-3,4]\) funkcja \(f(x)=x-1\) jest rosnąca: wartości od \(-4\) (nieosiągane) do \(f(4)=3\), czyli \((-4,3]\).

Sumujemy oba zbiory:

\([-4,0)\cup(-4,3]=[-4,3]\)

2. Nierówność \(f(x)\lt -2\).

Na \((-5,-3]\): \(-2x-10\lt -2\Rightarrow -2x\lt 8\Rightarrow x\gt -4\), czyli \((-4,-3]\).

Na \((-3,4]\): \(x-1\lt -2\Rightarrow x\lt -1\), czyli \((-3,-1)\).

Łączymy:

\((-4,-3]\cup(-3,-1)=(-4,-1)\)

Odpowiedź: 1. \([-4,3]\), 2. \((-4,-1)\)

1. Dziedzina. Sumujemy przedziały z definicji funkcji:

\((-5,-2]\cup(-2,1]\cup(1,3]=(-5,3]\)

2. Zbiór wartości. Rozpatrujemy kolejne fragmenty:

na \((-5,-2]\): \(f(x)=-x-2\) przyjmuje wartości od \(0\) (dla \(x=-2\)) do wartości bliskich \(3\) (dla \(x\) bliskich \(-5\), ale bez \(3\)),

na \((-2,1]\): wartość stała \(0\),

na \((1,3]\): \(f(x)=x\) przyjmuje wartości z przedziału \((1,3]\) — w szczególności osiągana jest wartość \(3\).

Sumując: \(ZW_f=[0,3]\)

3. Miejsca zerowe. Wartość \(0\) przyjmowana jest dla \(x=-2\) (z pierwszego wzoru) oraz dla wszystkich \(x\in(-2,1]\) (drugi wzór):

\([-2,1]\)

4. Nierówność \(f(x)\lt f(-3)\). Obliczamy wartość odniesienia:

\(f(-3)=-(-3)-2=1\)

Szukamy \(f(x)\lt 1\):

na \((-5,-2]\): \(-x-2\lt 1\Rightarrow x\gt -3\), czyli \((-3,-2]\),

na \((-2,1]\): \(0\lt 1\) — cały przedział,

na \((1,3]\): \(x\lt 1\) — brak rozwiązań.

Łącznie: \((-3,1]\)

Odpowiedź: 1. \((-5,3]\), 2. \([0,3]\), 3. \([-2,1]\), 4. \((-3,1]\)

Wykres funkcji \(f\) składa się z dwóch odcinków tworzących kształt litery „V” z wierzchołkiem w punkcie \((1,0)\).

Z treści zadania wiemy, że punkty przecięcia wykresu z prostą \(y=2\) mają współrzędne całkowite. Odczytujemy je z rysunku:

lewy punkt: \((0,2)\), prawy punkt: \((4,2)\)

Nierówność \(f(x)\le 2\) jest spełniona tam, gdzie wykres leży na prostej \(y=2\) lub poniżej niej, czyli między tymi punktami (włącznie).

Odpowiedź: \([0,4]\)

Szukamy argumentów, dla których wykres leży powyżej prostej \(y=1\).

Odcinki stałe. Dla \(x\in[-7,-5]\) oraz \(x\in[-4,-1]\) funkcja ma wartość \(4\), a \(4\gt 1\) — oba przedziały należą do rozwiązania.

Odcinek opadający. Na przedziale \([-1,4]\) wykres jest fragmentem prostej \(y=3-x\). Warunek \(3-x\gt 1\) daje \(x\lt 2\), czyli \([-1,2)\).

Odcinek rosnący. Na przedziale \([5,7]\) wykres zaczyna się w punkcie \((5,1)\), więc wartości większe od \(1\) są dla \(x\gt 5\), czyli \((5,7]\).

Łącząc przedziały \([-4,-1]\) i \([-1,2)\) otrzymujemy \([-4,2)\).

Odpowiedź: \(x\in[-7,-5]\cup[-4,2)\cup(5,7]\)

Dziedzina. Z wykresu odczytujemy, że funkcja jest określona dla \(x\) z przedziału od \(-5\) do \(-1\) oraz od \(1\) do \(5\), przy czym końce tych przedziałów zaznaczono pustymi kółkami, więc do dziedziny nie należą.

\(D_f = (-5,-1)\cup(1,5)\) — odpowiedź F.

Zbiór wartości. Lewa część wykresu przyjmuje wartości od \(-3\) (odcinek poziomy) do \(-1\) (odcinek poziomy), obie te wartości są osiągane, więc daje przedział \([-3,-1]\).

Prawa część wykresu przyjmuje wartości od \(1\) do \(3\), również osiągane, czyli \([1,3]\).

\(ZW_f = [-3,-1]\cup[1,3]\) — odpowiedź A.

Szukamy tych argumentów, dla których wykres leży poniżej prostej \(y=-1\).

Dla \(x\in(-5,-4]\) funkcja przyjmuje wartość \(-3\), czyli mniejszą od \(-1\).

Dla \(x\in(-4,-3)\) wykres rośnie od \(-3\) do \(-1\), więc wartości są nadal mniejsze od \(-1\).

Dla \(x=-3\) mamy \(f(x)=-1\), co nie spełnia nierówności ostrej, a dla \(x\gt -3\) wartości są równe \(-1\) lub dodatnie.

Odpowiedź: \(x\in(-5,-3)\)