Funkcja liniowa z parametrem

Funkcja liniowa ma wzór \(g(x)=ax+b\). Z warunku \(g(0)=-\frac{3}{2}\) odczytujemy wyraz wolny:

\(b=-\frac{3}{2}\)

Z warunku \(g(-3)=0\):

\(a\cdot(-3)-\frac{3}{2}=0\)

\(-3a=\frac{3}{2}\)

\(a=-\frac{1}{2}\)

Zatem \(g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\).

Odpowiedź: A.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji:

\(\frac{1}{2}x-k=0\)

\(x=2k\)

Z warunku zadania miejsce zerowe jest większe od \(2\):

\(2k\gt 2\)

\(k\gt 1\)

Zatem \(k\in(1,+\infty)\).

Odpowiedź: D.

Masa bańki wraz z mlekiem to masa pustej bańki powiększona o masę \(x\) litrów mleka:

\(f(x)=1{,}03x+6{,}5\) dla \(x\in[0,10]\)

Stwierdzenie 1. Współczynnik kierunkowy \(1{,}03\gt 0\), więc funkcja jest rosnąca, a nie malejąca — stwierdzenie fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Rozwiązujemy \(f(x)=0\):

\(1{,}03x+6{,}5=0\Rightarrow x=-\frac{6{,}5}{1{,}03}\lt 0\)

Ta liczba nie należy do dziedziny \([0,10]\), więc funkcja nie ma miejsc zerowych — stwierdzenie prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Funkcja \(f(x)=1{,}03x+6{,}5\) jest rosnąca, więc największą wartość przyjmuje dla największego argumentu z dziedziny, czyli dla \(x=10\):

\(f(10)=1{,}03\cdot 10+6{,}5=10{,}3+6{,}5=16{,}8\)

Odpowiada to masie pełnej bańki (\(10\) litrów mleka) wraz z bańką.

Odpowiedź: A.

Masa zawartości: \(x\) litrów mleka o masie \(1{,}03\) kg każdy daje \(1{,}03x\) kg.

Do tego dochodzi stała masa pustej bańki, czyli \(6{,}5\) kg.

Zatem:

\(f(x)=1{,}03x+6{,}5\)

Odpowiedź: D.

Miejsce zerowe oznacza, że \(f(2)=0\). Podstawiamy:

\((3-m)\cdot 2+4=0\)

\(6-2m+4=0\)

\(10=2m\)

\(m=5\)

Sprawdzenie: dla \(m=5\) mamy \(f(x)=-2x+4\), a \(f(2)=-4+4=0\) ✓

Odpowiedź: D.

Zapiszmy funkcję w postaci \(f(x)=ax+b\). Z podanych warunków otrzymujemy układ równań:

\(f(1)=0\Rightarrow a+b=0\)

\(f(-1)=4\Rightarrow -a+b=4\)

Z pierwszego równania \(b=-a\). Podstawiamy do drugiego:

\(-a-a=4\)

\(-2a=4\)

\(a=-2\), zatem \(b=2\)

\(f(x)=-2x+2\)

Sprawdzenie: \(f(1)=-2+2=0\) ✓, \(f(-1)=2+2=4\) ✓

Odpowiedź: C.

Krok 1. Odcięta punktu przecięcia. Przyrównujemy wzory funkcji:

$$x-2=5-ax\ \Longrightarrow\ x+ax=7\ \Longrightarrow\ x(1+a)=7.$$

Dla $a=-1$ równanie przyjmuje postać $0=7$ — wykresy są wtedy równoległe i nie przecinają się. Zakładamy więc $a\neq-1$:

$$x=\frac{7}{1+a}.$$

Krok 2. Rzędna punktu przecięcia.

$$y=x-2=\frac{7}{1+a}-2=\frac{7-2(1+a)}{1+a}=\frac{5-2a}{1+a}.$$

Krok 3. Warunek $x>0$. Licznik $7$ jest dodatni, więc

$$\frac{7}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 1+a>0\ \Longleftrightarrow\ a>-1.$$

Krok 4. Warunek $y>0$. Wiemy już, że $1+a>0$, więc znak ułamka zależy tylko od licznika:

$$\frac{5-2a}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 5-2a>0\ \Longleftrightarrow\ a\lt \frac{5}{2}.$$

Krok 5. Część wspólna.

$$a\in\left(-1,\ \frac{5}{2}\right).$$

Kontrola: dla $a=0$ punkt przecięcia to $(7,5)$ — obie współrzędne dodatnie ✓; dla $a=3$ mamy $\left(\frac74,-\frac14\right)$ ✗; dla $a=-2$ mamy $(-7,-9)$ ✗

Odpowiedź: $a\in\left(-1,\frac{5}{2}\right)$

a) Wartości funkcji.

\(f(-3)\): ponieważ \(-3\lt 2\), mamy \(f(-3)=2\cdot(-3)-3=-9\).

\(f(3)\): ponieważ \(2\le3\le4\), mamy \(f(3)=1\).

Miejsce zerowe: dla \(x\lt 2\) mamy \(2x-3=0\), czyli \(x=1{,}5\) (i rzeczywiście \(1{,}5\lt 2\)); dla \(2\le x\le4\) funkcja jest stała i równa 1, więc nie ma tam miejsc zerowych.

Tabela: \(x=-3\to f(x)=-9\); \(x=3\to f(x)=1\); \(x=1{,}5\to f(x)=0\).

b) Wykres. Dla \(x\lt 2\) — półprosta o równaniu \(y=2x-3\) (bez punktu \((2,1)\), który jednak należy do drugiej części wykresu); dla \(2\le x\le4\) — poziomy odcinek \(y=1\) od \((2,1)\) do \((4,1)\). Dziedziną funkcji jest \((-\infty,4\rangle\).

c) Nierówność \(f(x)\ge-6\).

Dla \(x\lt 2\): \(2x-3\ge-6\), czyli \(2x\ge-3\), skąd \(x\ge-\dfrac32\). Otrzymujemy \(-\dfrac32\le x\lt 2\).

Dla \(2\le x\le4\): \(f(x)=1\ge-6\) — warunek spełniony dla całego przedziału.

Łącznie \(x\in\left\langle-\tfrac32,\ 4\right\rangle\), a liczby całkowite w tym przedziale to

\(-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\).

a) Dla \(a=2008\), \(b=2009\) mamy \(f(x)=2008x+2009\). Obliczamy wartość w punkcie \(x=2009\):

\(f(2009)=2008\cdot2009+2009=2009\cdot(2008+1)=2009\cdot2009=2009^2\).

Otrzymana wartość jest równa drugiej współrzędnej punktu \(P\), zatem punkt \(P\) należy do wykresu tej funkcji.

b) Dla ustalonego \(b\) otrzymujemy odcinek prostej \(y=-\tfrac12x+b\) obcięty do \(x\in\langle-1,3\rangle\). Gdy \(b\) przebiega przedział \(\langle-2,1\rangle\), odcinki te wypełniają obszar między prostymi

\(y=-\tfrac12x-2\) (dla \(b=-2\)) oraz \(y=-\tfrac12x+1\) (dla \(b=1\)),

ograniczony pionowymi prostymi \(x=-1\) i \(x=3\).

Jest to zatem równoległobok (wraz z brzegiem) o wierzchołkach:

\(\left(-1,\tfrac32\right),\ \left(-1,-\tfrac32\right),\ \left(3,-\tfrac12\right),\ \left(3,-\tfrac72\right)\).

(Boki ukośne leżą na prostych o współczynniku kierunkowym \(-\tfrac12\), a boki pionowe na prostych \(x=-1\) i \(x=3\).)