Funkcja liniowa i jej własności
Klasa 1 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
∑Wzory 1
Punkt przecięcia wykresu z osią $Ox$.
Przykład: $f(x)=4x-8$: $x_0=2$.
📘Teoria 1
Postać i wykres
$$f(x)=ax+b$$
Wykresem jest prosta. Współczynnik $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ to wyraz wolny — rzędna punktu przecięcia z osią $OY$.
Monotoniczność
- $a>0$ — funkcja rosnąca
- $a\lt 0$ — funkcja malejąca
- $a=0$ — funkcja stała (prosta pozioma)
Miejsce zerowe
$$ax+b=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{a}\qquad(a\ne0)$$
Wyznaczanie równania prostej
Z dwóch punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$:
$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad y-y_1=a(x-x_1)$$
Wzajemne położenie prostych
$$l_1\parallel l_2 \iff a_1=a_2,\qquad l_1\perp l_2 \iff a_1a_2=-1$$
Układy równań liniowych
Interpretacja geometryczna liczby rozwiązań:
- oznaczony — proste przecinają się (jedno rozwiązanie)
- nieoznaczony — proste się pokrywają (nieskończenie wiele)
- sprzeczny — proste równoległe rozłączne (brak rozwiązań)
Na co uważać
Prosta pionowa $x=c$ nie jest funkcją i nie ma współczynnika kierunkowego — nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Warunek prostopadłości zawodzi też dla pary prosta pozioma–pionowa; ten przypadek rozpatruj osobno.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 0
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
📄Zadania z arkuszy 20
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$; z wykresu (punkty przecięcia z osiami mają współrzędne całkowite) wynika, że prosta maleje i przecina osie w $(-2,0)$ oraz $(0,-3)$. Oceń prawdziwość: 1) współczynnik $a$ jest dodatni; 2) współczynnik $b$ jest dodatni.
Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=5x+m^{2}+6m$, gdzie $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,-9)$. Oblicz $m$. Zapisz obliczenia.
Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(3-m)x-4$. Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego
Funkcja liniowa $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, $k\in\mathbb{R}$, jest malejąca dla każdego $k$ z przedziału
Funkcje liniowe $f(x)=3x+6$ oraz $g(x)=ax+7$ mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ jest równy
Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest liczba $2$, a punkt przecięcia wykresu z osią $Oy$ ma współrzędne $(0,4)$.
Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Współczynnik kierunkowy prostej będącej wykresem funkcji $f$ jest równy $(-2)$.
- Pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych oraz wykresem funkcji $f$ jest równe $8$.
Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ ma wykres malejący, przecinający oś $Oy$ powyżej zera (dodatni wyraz wolny). Wtedy
Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{2}{3}$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $4$.
- Punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Oy$ ma współrzędne $\left(0,-\dfrac{1}{6}\right)$.
Parametr \(m\) dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania
\(\left(4-m^2\right)\cdot x=m^2-3m+2\)
z niewiadomą \(x\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wynika stąd, że
Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=ax+b\) dla \(x\in R\).
a) Dla \(a=2008\) i \(b=2009\) zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt \(P=(2009,\ 2009^2)\).
b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór \(A=\left\{(x,y):\ x\in\langle-1,3\rangle\ \text{i}\ y=-\tfrac12x+b\ \text{i}\ b\in\langle-2,1\rangle\right\}\).