Funkcja liniowa i jej własności

Rozwiązanie

$a=\dfrac{-3-0}{0-(-2)}=-\tfrac32\lt 0$ (F), $b=-3\lt 0$ (F).

Odpowiedź: FF

Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie o rzędnej $f(0)$: $f(0)=m^{2}+6m$.

$m^{2}+6m=-9\Rightarrow m^{2}+6m+9=0\Rightarrow (m+3)^{2}=0\Rightarrow m=-3$.

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy, gdy jest funkcją stałą różną od zera, czyli gdy współczynnik kierunkowy jest równy $0$: $3-m=0\Rightarrow m=3$.

Wtedy $f(x)=-4\ne 0$ — brak miejsca zerowego.

Odpowiedź: C.

Rozwiązanie

Malejąca, gdy współczynnik kierunkowy $\lt 0$: $-2k+3\lt 0\Rightarrow k>\tfrac32$.

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

1. Miejsce zerowe $f$: $3x+6=0\Rightarrow x=-2$.
2. $g(-2)=0$: $-2a+7=0\Rightarrow a=\tfrac72$.

Odpowiedź: D

$f(x)=ax+4$ oraz $f(2)=0$, więc $2a+4=0\Rightarrow a=-2$, zatem $f(x)=-2x+4$.

1. Prawda. Współczynnik kierunkowy to $-2$.

2. Fałsz. Trójkąt ma wierzchołki $(0,0),(2,0),(0,4)$, więc pole $=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$, a nie $8$.

Odpowiedź: P, F.

Rozwiązanie

Wykres malejący $\Rightarrow a\lt 0$. Przecięcie z osią $Oy$ powyżej zera $\Rightarrow b>0$.

Odpowiedź: C

1. Prawda. $-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{2}{3}=0\Rightarrow \dfrac{1}{6}x=\dfrac{2}{3}\Rightarrow x=4$.

2. Fałsz. Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $\left(0,\,f(0)\right)=\left(0,\dfrac{2}{3}\right)$, a nie $\left(0,-\dfrac{1}{6}\right)$.

Odpowiedź: P, F.

Równanie liniowe \(ax=b\) jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy \(a=0\) oraz \(b=0\).

Warunek pierwszy:

\(4-m^2=0\Rightarrow m=2\) lub \(m=-2\)

Warunek drugi:

\(m^2-3m+2=0\Rightarrow(m-1)(m-2)=0\Rightarrow m=1\) lub \(m=2\)

Oba warunki są spełnione jednocześnie tylko dla \(m=2\).

Odpowiedź: C.

Krok 1. Odcięta punktu przecięcia. Przyrównujemy wzory funkcji:

$$x-2=5-ax\ \Longrightarrow\ x+ax=7\ \Longrightarrow\ x(1+a)=7.$$

Dla $a=-1$ równanie przyjmuje postać $0=7$ — wykresy są wtedy równoległe i nie przecinają się. Zakładamy więc $a\neq-1$:

$$x=\frac{7}{1+a}.$$

Krok 2. Rzędna punktu przecięcia.

$$y=x-2=\frac{7}{1+a}-2=\frac{7-2(1+a)}{1+a}=\frac{5-2a}{1+a}.$$

Krok 3. Warunek $x>0$. Licznik $7$ jest dodatni, więc

$$\frac{7}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 1+a>0\ \Longleftrightarrow\ a>-1.$$

Krok 4. Warunek $y>0$. Wiemy już, że $1+a>0$, więc znak ułamka zależy tylko od licznika:

$$\frac{5-2a}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 5-2a>0\ \Longleftrightarrow\ a\lt \frac{5}{2}.$$

Krok 5. Część wspólna.

$$a\in\left(-1,\ \frac{5}{2}\right).$$

Kontrola: dla $a=0$ punkt przecięcia to $(7,5)$ — obie współrzędne dodatnie ✓; dla $a=3$ mamy $\left(\frac74,-\frac14\right)$ ✗; dla $a=-2$ mamy $(-7,-9)$ ✗

Odpowiedź: $a\in\left(-1,\frac{5}{2}\right)$

a) Dla \(a=2008\), \(b=2009\) mamy \(f(x)=2008x+2009\). Obliczamy wartość w punkcie \(x=2009\):

\(f(2009)=2008\cdot2009+2009=2009\cdot(2008+1)=2009\cdot2009=2009^2\).

Otrzymana wartość jest równa drugiej współrzędnej punktu \(P\), zatem punkt \(P\) należy do wykresu tej funkcji.

b) Dla ustalonego \(b\) otrzymujemy odcinek prostej \(y=-\tfrac12x+b\) obcięty do \(x\in\langle-1,3\rangle\). Gdy \(b\) przebiega przedział \(\langle-2,1\rangle\), odcinki te wypełniają obszar między prostymi

\(y=-\tfrac12x-2\) (dla \(b=-2\)) oraz \(y=-\tfrac12x+1\) (dla \(b=1\)),

ograniczony pionowymi prostymi \(x=-1\) i \(x=3\).

Jest to zatem równoległobok (wraz z brzegiem) o wierzchołkach:

\(\left(-1,\tfrac32\right),\ \left(-1,-\tfrac32\right),\ \left(3,-\tfrac12\right),\ \left(3,-\tfrac72\right)\).

(Boki ukośne leżą na prostych o współczynniku kierunkowym \(-\tfrac12\), a boki pionowe na prostych \(x=-1\) i \(x=3\).)