Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Definicja

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi dziedziny przypisuje dokładnie jedną wartość. Zapisujemy $f:X\to Y$, $y=f(x)$.

Podstawowe pojęcia

• Dziedzina — zbiór dopuszczalnych argumentów (np. mianownik $\ne0$, wyrażenie pod pierwiastkiem $\ge0$)
• Zbiór wartości — wszystkie przyjmowane wartości
• Miejsce zerowe — argument, dla którego $f(x)=0$ (przecięcie z osią $OX$)

Monotoniczność

Funkcja jest rosnąca, gdy dla $x_1\lt x_2$ zachodzi $f(x_1)\lt f(x_2)$, a malejąca, gdy $f(x_1)>f(x_2)$.

Przekształcenia wykresu

$$y=f(x)+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$

$$y=f(x-p)\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$

$$y=-f(x)\ :\ \text{symetria względem } OX$$

$$y=f(-x)\ :\ \text{symetria względem } OY$$

Przesunięcie o wektor $[p,q]$ daje łącznie $y=f(x-p)+q$.

Proporcjonalność odwrotna

$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a$$

Wykresem jest hiperbola; osie układu są jej asymptotami.

Na co uważać

W zapisie $f(x-p)$ znak jest mylący: $f(x-3)$ przesuwa wykres w prawo o $3$. Przy osi $OY$ jest intuicyjnie: $f(x)+2$ to przesunięcie w górę.

Co da się odczytać

Wykres jest pełnym opisem funkcji — wystarczy wiedzieć, gdzie patrzeć.

Dziedzina i zbiór wartości

• Dziedzina — rzut wykresu na oś $OX$: dla jakich argumentów wykres istnieje
• Zbiór wartości — rzut na oś $OY$: jakie wartości funkcja przyjmuje

Kółko puste oznacza, że punkt nie należy do wykresu, pełne — że należy.

Miejsca zerowe

To argumenty, dla których $f(x)=0$ — punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. Odczytujemy ich pierwsze współrzędne.

Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\,f(0))$ — to nie jest miejsce zerowe.

Znak funkcji

Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$, a ujemna tam, gdzie leży pod nią. Odpowiedź podajemy jako przedziały argumentów.

Monotoniczność

• rosnąca — im dalej w prawo, tym wyżej: większy argument daje większą wartość
• malejąca — im dalej w prawo, tym niżej
• stała — wykres poziomy

Monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach, nigdy jako sumę przedziałów.

Wartość największa i najmniejsza

Odczytujemy je z osi $OY$ — jako wartości, nie argumenty. Dla $f(x)=-x^2+4$ największa wartość to $4$, osiągana dla $x=0$.

Argumenty spełniające warunek

„Dla jakich $x$ zachodzi $f(x)=2$?” — prowadzimy poziomą prostą $y=2$ i odczytujemy pierwsze współrzędne punktów przecięcia. Rozwiązań może być kilka.

Czy to w ogóle funkcja

Test pionowej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości.

Parzystość

Wykres symetryczny względem osi $OY$ — funkcja parzysta ($f(-x)=f(x)$). Symetryczny względem początku układu — nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$).

Na co uważać

Najczęstsze pomyłki to mylenie argumentu z wartością (miejsce zerowe to $x$, a wartość największa to $y$) oraz podawanie monotoniczności jako sumy przedziałów — funkcja $f(x)=\frac1x$ maleje w $(-\infty,0)$ i osobno w $(0,+\infty)$, ale nie na sumie tych zbiorów.