Dowody niewymierności liczb

Na początek ważne przypomnienie - aby dobrze rozwiązać to zadanie, musimy pamiętać o kolejności wykonywania działań. Wymnażając poszczególne pierwiastki przez liczby w nawiasach, otrzymamy:
$$\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})=2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(\sqrt{3}-\sqrt{6})^2=\sqrt{3}^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{6}^2=3-2\sqrt{18}+6=9-2\sqrt{18}$$

Takiej odpowiedzi niestety nie mamy, bowiem musimy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, rozpisując \(\sqrt{18}\) jako \(\sqrt{9\cdot2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$9-2\sqrt{18}=9-2\sqrt{9\cdot2}=9-2\cdot3\sqrt{2}=9-6\sqrt{2}$$

Krok 1. Ułożenie równania.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro suma długości boku i przekątnej jest równa \(1\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$a+a\sqrt{2}=1$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Rozwiązywanie naszego równania zaczynamy od wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias:
$$a+a\sqrt{2}=1$$ $$a\cdot(1+\sqrt{2})=1$$ $$a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$

Teraz musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. Aby pozbyć się tej niewymierności to musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(1-\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})}$$ $$a=\frac{1-\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2}$$ $$a=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}$$ $$a=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}$$ $$a=-1+\sqrt{2}$$ $$a=\sqrt{2}-1$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Wiemy już, że nasz kwadrat ma bok o długości \(a=\sqrt{2}-1\), zatem przekątna tego kwadratu będzie miała długość:
$$d=a\sqrt{2}$$ $$d=(\sqrt{2}-1)\cdot\sqrt{2}$$ $$d=2-\sqrt{2}$$

Aby otrzymać liczbę odwrotną wystarczy zamienić miejscami licznik z mianownikiem. W ten sposób otrzymamy liczbę \(\frac{3}{\sqrt{6}-3}\). To jednak nie koniec zadania, bo dodatkowo będziemy musieli wykonać jeszcze usunięcie niewymierności z mianownika. Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$\frac{3}{\sqrt{6}-3}=\frac{3\cdot(\sqrt{6}+3)}{(\sqrt{6}-3)\cdot(\sqrt{6}+3)}=$$ $$=\frac{3\sqrt{6}+9)}{(6-9)}=\frac{3\sqrt{6}+9)}{-3}=-\sqrt{6}-3$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$2-2(\sqrt{3}-1)^2=2-2\cdot(3-2\sqrt{3}+1)=2-2\cdot(4-2\sqrt{3})=$$ $$=2-8+4\sqrt{3}=-6+4\sqrt{3}\approx-6+6,92\approx0,92$$

To oznacza, że ta liczba należy do przedziału \((0;1)\).

Podstawiając pod \(a\) oraz \(b\) liczby z treści zadania otrzymamy:
$$(b-a)^2=(\sqrt{75}-2\sqrt{3})^2=(\sqrt{25\cdot3}-2\sqrt{3})^2=$$ $$=(5\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2=(3\sqrt{3})^2=9\cdot3=27$$

Sprawdźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A. \(36^{\frac{2}{3}}=(6^2)^{\frac{2}{3}}=6^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{6^4}=\sqrt[3]{6^3\cdot6}=6\sqrt[3]{6}\)
Odp. B. \(36^{\frac{3}{2}}=(6^2)^{\frac{3}{2}}=6^3=216\)
Odp. C. \(36^{\frac{1}{4}}=(6^2)^{\frac{1}{4}}=6^{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}\)
Odp. D. \(36^{\frac{3}{4}}=(6^2)^{\frac{3}{4}}=6^{\frac{3}{2}}=\sqrt{6^3}=\sqrt{6^2\cdot6}=6\sqrt{6}\)

Liczbą wymierną jest więc liczba z drugiej odpowiedzi.

Krok 1. Wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania.
Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc:
$$x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7)=0$$ $$x^2=0 \quad\lor\quad x+5=0 \quad\lor\quad 2x-3=0 \quad\lor\quad x^2-7=0$$ $$x=0 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad x=\frac{3}{2} \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7}$$

Krok 2. Określenie ilości rozwiązań niewymiernych.
Liczby niewymierne to takie, których nie da się przedstawić w formie ułamka zwykłego, w którym licznik i mianownik byłyby liczbami całkowitymi. W naszym przypadku takimi liczbami będą \(\sqrt{7}\) oraz \(-\sqrt{7}\), tak więc są dwa niewymierne rozwiązania tego równania.

Najprościej jest rozwiązać to zadanie wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zwłaszcza że będziemy mogli zastosować tutaj wzory skróconego mnożenia.
$$5\cdot m=(5-\sqrt{5})\cdot(5+\sqrt{5})$$ $$5m=5^2-(\sqrt{5})^2$$ $$5m=25-5$$ $$5m=20$$ $$m=4$$

Krok 1. Obliczenie części składowych tego wyrażenia.
Jeśli nie czujemy się zbyt pewnie w działaniach na pierwiastkach, to dobrze jest rozbić sobie ten przykład na dwie części, obliczając oddzielnie wartość każdego z tych dwóch ułamków. Aby obliczyć wartości tych ułamków musimy po prostu usunąć niewymierności znajdujące się w mianownikach. I tak oto:
$$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\cdot(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)\cdot(\sqrt{3}+1)}=\frac{2\sqrt{3}+2}{3-1}=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=\sqrt{3}+1$$ $$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\cdot(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot(\sqrt{3}-1)}=\frac{2\sqrt{3}-2}{3-1}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Uważając na znaki możemy teraz bez przeszkód obliczyć wartość naszego wyrażenia:
$$\sqrt{3}+1-(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$$

Nie możemy ot tak skrócić sobie licznika z mianownikiem, bo między liczbami stoją znaki dodawania/odejmowania. Musimy tak naprawdę wymnożyć licznik i mianownik przez wartość \(\sqrt{5}+2\), pobywając się w ten sposób niewymierności w mianowniku. Zatem:
$$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}+2)\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}=$$ $$=\frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}=9+4\sqrt{5}$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) obliczmy pierwszą część naszego działania, a następnie uporządkujmy całe wyrażenie:
$$(3-\sqrt{2})^2+4(2-\sqrt{2})=$$ $$3^2-6\sqrt{2}+2+8-4\sqrt{2}=$$ $$9-10\sqrt{2}+10=$$ $$=19-10\sqrt{2}$$

W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

$$x^2=(5+2\sqrt{3})^2$$ $$x^2=5^2+2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2$$ $$x^2=25+20\sqrt{3}+4\cdot3$$ $$x^2=25+20\sqrt{3}+12$$ $$x^2=37+20\sqrt{3}$$

Rozwiązanie tego zadania będzie znacznie prostsze, kiedy potęgę znajdującą się na końcu liczby rozpiszemy jako oddzielnie potęgowanie licznika i mianownika:
$$\left(\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{(3+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{3})^2}$$

W liczniku posłużymy się teraz wzorem skróconego mnożenia, zatem całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(3+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{3})^2}=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{3}=\frac{12+6\sqrt{3}}{3}=4+2\sqrt{3}$$

Spróbujmy rozpisać podaną liczbę \(a\). Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), otrzymamy:
$$(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2=2+2\sqrt{14}+7=9+2\sqrt{14}$$

Otrzymany wynik musimy przyrównać do postaci \(x+y\sqrt{14}\). Widzimy zatem, że w tym przypadku \(x=9\) oraz \(y=2\).

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że:
$$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0$$ $$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3}$$

Spróbujmy przekształcić to równanie, tak aby po jednej stronie mieć ułamek \(\frac{a}{b}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{2}$$ $$a=\frac{-b\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \quad\bigg/:b$$ $$\frac{a}{b}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

I analogicznie przekształćmy to nasze początkowe równanie, ale tym razem w taki sposób, aby otrzymać ułamek \(\frac{b}{a}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:a$$ $$\sqrt{2}=\frac{-b\sqrt{3}}{a} \quad\bigg/:-\sqrt{3}$$ $$\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Znając wartości liczbowe ułamków \(\frac{a}{b}\) oraz \(\frac{b}{a}\) możemy przystąpić do obliczenia sumy:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Krok 2. Obliczenie sumy podanego wyrażenia.
Chcąc dodać teraz do siebie te dwa ułamki, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka należałoby pomnożyć przez wartość mianownika drugiego ułamka (czyli przez \(\sqrt{3}\)) i analogicznie licznik oraz mianownik drugiego ułamka trzeba pomnożyć przez wartość mianownika pierwsze ułamka (czyli przez \(\sqrt{2}\)). Całość wyglądałaby następująco:
$$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}+\frac{-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}=$$ $$=\frac{-3}{\sqrt{6}}+\frac{-2}{\sqrt{6}}=\frac{-5}{\sqrt{6}}$$

Otrzymany wynik jest poprawny, ale zgodnie z poleceniem, musimy jeszcze usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. W tym celu musimy licznik oraz mianownik tego ułamka pomnożyć przez \(\sqrt{6}\), otrzymując:
$$\frac{-5}{\sqrt{6}}=\frac{-5\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{6}}{6}$$

Chcąc dodać do siebie jakiekolwiek ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym konkretnym zadaniu najlepszym pomysłem byłoby zaczęcie obliczeń od usunięcia niewymierności w każdym z mianowników.

W mianownikach wszystkich ułamków pojawiają nam się nie tylko same pierwiastki, ale wyrażenia z pierwiastkiem. W takich sytuacjach, chcąc usunąć niewymierność, musimy wymnożyć liczniki oraz mianowniki tych ułamków przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku, ale ze zmienionym znakiem. Taki zabieg pozwoli nam zastosować w mianownikach wzór skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Obliczenia wyglądałyby więc następująco:
$$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})}+\frac{1\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})}+\frac{1\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{4})}=$$ $$=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}=$$ $$=\frac{(1-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{-1}=\frac{1-\sqrt{4}}{-1}=\frac{1-2}{-1}=\frac{-1}{-1}=1$$

Upraszczając cały zapis otrzymaliśmy wynik równy \(1\), zatem otrzymaliśmy liczbę całkowitą, co należało udowodnić.