Wielomiany — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Stopień to najwyższy wykładnik przy zmiennej.

$$\deg W=4$$

Odpowiedź: C. Liczba $3$ to współczynnik wiodący, a $-7$ to wyraz wolny.

Redukujemy wyrazy podobne:

$$(1+2)x^2+(3-1)x+(-1+4)$$

$$=3x^2+2x+3$$

Odpowiedź: $3x^2+2x+3$.

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$$x\cdot(x^2+3x-1)=x^3+3x^2-x$$

$$-2\cdot(x^2+3x-1)=-2x^2-6x+2$$

Sumujemy:

$$x^3+(3-2)x^2+(-1-6)x+2=x^3+x^2-7x+2$$

Odpowiedź: $x^3+x^2-7x+2$.

To treść twierdzenia Bézouta:

$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$

Odpowiedź: A. Dzięki temu podzielność sprawdzamy jednym podstawieniem.

Dzielnik $(x+1)$ zapisujemy jako $(x-(-1))$, więc podstawiamy $a=-1$:

$$W(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)-3=-1-2-3=-6$$

Odpowiedź: reszta wynosi $-6$.

Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+1)$ podstawiamy $-1$, a nie $1$ — to najczęstszy błąd w tym typie zadań.

Liczba $a$ jest pierwiastkiem, gdy $W(a)=0$.

$$W(2)=8-6+2=4$$

Ponieważ $4\ne0$, liczba $2$ nie jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: nie jest.

Dla porównania: $W(1)=1-3+2=0$, więc pierwiastkiem jest $1$.

Krok 1 — dzielenie przez $(x-1)$. Otrzymujemy:

$$W(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$$

Krok 2 — rozkład trójmianu:

$$\Delta=25-24=1,\qquad x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}=2\ \text{lub}\ 3$$

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Odpowiedź: $W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$.

Sprawdzenie: suma pierwiastków $1+2+3=6$ zgadza się ze wzorem $-\frac{b}{a}=6$. ✔

Ze wzoru na różnicę sześcianów $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ dla $a=x$, $b=1$:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

Odpowiedź: B. W drugim nawiasie znak przy $ab$ jest przeciwny do znaku w pierwszym — stąd $+x$, a nie $-x$.

Dwukrotnie stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

$$x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)$$

$$=(x-2)(x+2)(x^2+4)$$

Odpowiedź: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$.

Uwaga: czynnika $x^2+4$ nie da się rozłożyć nad liczbami rzeczywistymi — suma kwadratów nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik:

$$x(x^2-4)=0$$

Krok 2 — rozkładamy dalej:

$$x(x-2)(x+2)=0$$

Krok 3 — iloczyn równy zero:

$$x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,0,2\}$.

Ostrzeżenie: nie wolno dzielić przez $x$ — stracilibyśmy rozwiązanie $x=0$.

Krok 1 — kandydaci. Pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ spełnia: $p\mid 2$ (wyraz wolny), $q\mid 2$ (współczynnik wiodący).

$$\text{kandydaci: } \pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac12$$

Krok 2 — sprawdzenie:

$$W(2)=16-12-6+2=0 \checkmark$$

$$W(-1)=-2-3+3+2=0 \checkmark$$

$$W(\tfrac12)=\tfrac14-\tfrac34-\tfrac32+2=0 \checkmark$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ \tfrac12,\ 2\}$.

Sprawdzenie: iloczyn pierwiastków $=-1\cdot\tfrac12\cdot2=-1$, a ze wzorów Viète’a dla stopnia 3 wynosi $-\frac{d}{a}=-\frac{2}{2}=-1$. ✔

Liczba pierwiastków (z uwzględnieniem krotności) nie przekracza stopnia wielomianu.

Odpowiedź: C. Wielomian stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Z twierdzenia Bézouta podzielność zachodzi dokładnie wtedy, gdy $W(2)=0$:

$$W(2)=8+4m-4=4m+4$$

$$4m+4=0 \quad\Rightarrow\quad m=-1$$

Odpowiedź: $m=-1$.

Sprawdzenie: $W(x)=x^3-x^2-4$, a $W(2)=8-4-4=0$. ✔

Krok 1 — miejsca zerowe: $-2$, $1$, $4$ (wszystkie krotności nieparzystej).

Krok 2 — siatka znaków. Współczynnik wiodący jest dodatni, więc krzywą prowadzimy od prawej góry, przechodząc przez każdy pierwiastek:

$$(-\infty,-2):\ -,\qquad (-2,1):\ +,\qquad (1,4):\ -,\qquad (4,+\infty):\ +$$

Krok 3 — odczyt:

$$x\in(-2,1)\cup(4,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-2,1)\cup(4,+\infty)$.

Krok 1 — pierwiastki i krotności: $x=3$ (krotność $1$), $x=-1$ (krotność $2$).

Krok 2 — zachowanie krzywej. Przy krotności parzystej krzywa odbija się od osi i znak się nie zmienia; przy nieparzystej przechodzi na drugą stronę.

Wyrażenie jest ujemne na $(-\infty,-1)$ i $(-1,3)$, dodatnie na $(3,+\infty)$.

Krok 3 — nierówność nieostra, więc dołączamy miejsca zerowe:

$$x\in(-\infty,3\rangle$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,3\rangle$ (punkt $-1$ też należy — tam wyrażenie równa się zero).

Współczynnik wiodący stoi przy najwyższej potędze zmiennej.

$$a_3=-5$$

Odpowiedź: D. Liczba $8$ to wyraz wolny. Ujemny współczynnik wiodący oznacza, że dla $x\to+\infty$ wartości wielomianu dążą do $-\infty$.

Wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy odpowiadających potęgach:

$$a=2,\qquad b=-5,\qquad c=3$$

Odpowiedź: $a=2$, $b=-5$, $c=3$.

Zasada: porównywanie współczynników to standardowa metoda w zadaniach o równości wielomianów i rozkładzie na ułamki proste.

Krok 1 — grupujemy po dwa składniki:

$$(x^3+2x^2)+(-3x-6)$$

Krok 2 — wyłączamy czynniki z każdej grupy:

$$x^2(x+2)-3(x+2)$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny nawias:

$$(x+2)(x^2-3)$$

Krok 4 — dalszy rozkład (różnica kwadratów z niewymiernymi pierwiastkami):

$$(x+2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$$

Odpowiedź: $(x+2)(x^2-3)$, a w pełnym rozkładzie $(x+2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$.

Krok 1 — warunki na pierwiastki:

$$W(1)=1+a+b-6=0 \quad\Rightarrow\quad a+b=5$$

$$W(2)=8+4a+2b-6=0 \quad\Rightarrow\quad 4a+2b=-2 \quad\Rightarrow\quad 2a+b=-1$$

Krok 2 — układ równań. Odejmujemy stronami:

$$a=-6,\qquad b=11$$

Krok 3 — trzeci pierwiastek ze wzoru Viète’a na iloczyn ($x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}=6$):

$$1\cdot2\cdot x_3=6 \quad\Rightarrow\quad x_3=3$$

Odpowiedź: $a=-6$, $b=11$, trzeci pierwiastek to $3$.

Metoda — szacowanie od dołu. Dla każdego rzeczywistego $x$ zachodzi:

$$x^4\ge 0 \qquad\text{oraz}\qquad x^2\ge 0$$

Zatem:

$$W(x)=x^4+x^2+1\ge 0+0+1=1>0$$

Wielomian przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc nigdy nie osiąga zera. Nie ma zatem pierwiastków rzeczywistych. ∎

Uwaga: w zadaniach „wykaż, że” sprawdzenie kilku liczb nie jest dowodem — potrzebne jest oszacowanie prawdziwe dla każdego $x$.