Rozwijamy wzorem $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$$(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 = 32 - 2\sqrt{32}\cdot\sqrt{2} + 2 = 34 - 2\sqrt{64} = 34 - 16 = \mathbf{18}$$

Wyłączamy $5^{12}$ przed nawias w liczniku:

$$\frac{5^{12}(1+5+25)}{5^{12}} = 1 + 5 + 25 = \mathbf{31}$$

Korzystamy z własności logarytmów: $n\log_a b = \log_a b^n$ oraz $\log_a M - \log_a N = \log_a\frac{M}{N}$:

$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 108 - \log_3 4 = \log_3\frac{108}{4} = \log_3 27 = \mathbf{3}$$

bo $3^3 = 27$.

Rozwijamy oba nawiasy wzorem $(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$$(3x+2)^2 = 9x^2+12x+4$$

$$(2x-3)^2 = 4x^2-12x+9$$

$$9x^2+12x+4 - (4x^2-12x+9) = 9x^2+12x+4-4x^2+12x-9 = \mathbf{5x^2+24x-5}$$

Dowód:

Niech $n$ będzie dowolną nieparzystą liczbą naturalną. Wyłączamy $n$ przed nawias:

$$n^3+n^2+n = n(n^2+n+1)$$

Rozpatrzemy trzy przypadki ze względu na resztę z dzielenia $n$ przez $3$:

• Przypadek 1: $n \equiv 0 \pmod{3}$ — wtedy $n$ jest podzielne przez $3$, więc $n(n^2+n+1)$ jest podzielne przez $3$. ✓
• Przypadek 2: $n \equiv 1 \pmod{3}$ — wtedy $n^2+n+1 \equiv 1+1+1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$, więc czynnik $n^2+n+1$ jest podzielny przez $3$. ✓
• Przypadek 3: $n \equiv 2 \pmod{3}$ — wtedy $n^2 \equiv 4 \equiv 1$, więc $n^2+n+1 \equiv 1+2+1 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$. Ale $n \equiv 2 \pmod 3$ jest nieparzyste — jednak ten przypadek wymaga osobnej uwagi... (W rzeczywistości dla n nieparzystych wśród reszty mod 3 mamy resztę 1 lub 2, a dla reszty 2: $n(n^2+n+1) = 2 \cdot 4 = 8 \equiv 2 \pmod 3$)

Uwaga: Dokładny dowód zależy od treści oryginalnego zadania — weryfikuj ze schematem oceniania CKE.

Rozwiązujemy nierówność:

$$3x - 2 + 4x \geq 2x - 17$$

$$7x - 2 \geq 2x - 17$$

$$5x \geq -15$$

$$x \geq -3$$

Na osi liczbowej: zamknięty punkt w $-3$, strzałka w prawo.

Iloczyn równa się zero gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem:

• $2 = 0$ — niemożliwe
• $x = 0$ ✓
• $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ ✓
• $x^2 + 25 = 0 \Rightarrow x^2 = -25$ — brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat jest nieujemny)

Równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste: $x = 0$ i $x = -3$.

Rozkładamy na czynniki licznik i mianownik:

Licznik: $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$

Mianownik: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$

$$\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x+1}{x+2} \quad (x \neq -2)$$

Niech kwota przyznana zespołowi A wynosi $x$ zł, wtedy zespołowi B przyznano $(1\,200\,000 - x)$ zł.

Równanie z warunków zadania:

$$0{,}13x + 0{,}11(1\,200\,000 - x) = 146\,700$$

$$0{,}13x + 132\,000 - 0{,}11x = 146\,700$$

$$0{,}02x = 14\,700$$

$$x = 735\,000 \text{ zł}$$

Zespołowi A przyznano 735 000 zł.

Rozwijamy lewą stronę:

$$m^2 + 4m + 4 < m$$

$$m^2 + 3m + 4 < 0$$

Wyróżnik: $\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$

Ponieważ $\Delta < 0$ i współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($a=1>0$), trójmian $m^2+3m+4$ jest zawsze dodatni.

Nierówność $m^2+3m+4 < 0$ nie ma rozwiązań.

Zbiór rozwiązań: $\emptyset$ (brak rozwiązań).

1. Dziedzina: $[-4, 4)$ — od $-4$ do $4$ (bez 4, bo ostatni przedział to $(2,4)$ — otwarty z prawej).

2. Zbiór wartości:

• Na $[-4,-2]$: $f(x)=x+5$; $f(-4)=1$, $f(-2)=3$. Wartości: $[1,3]$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3$. Wartości: $\{3\}$.
• Na $(2,4)$: $f(x)=-3x+9$; $f(2^+)=3$, $f(4^-)=-3$. Wartości: $(-3,3)$.

Zbiór wartości: $(-3,3]$.

3. Argumenty, dla których $f(x)>0$:

• Na $[-4,-2]$: $x+5>0 \Rightarrow x>-5$ — cały odcinek: $[-4,-2]$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3>0$ — cały odcinek: $(-2,2]$.
• Na $(2,4)$: $-3x+9>0 \Rightarrow x<3$ — przedział $(2,3)$.

Odpowiedź: $[-4,3)$.

4. Równanie $f(x)=3$:

• Na $[-4,-2]$: $x+5=3 \Rightarrow x=-2$ — punkt $\{-2\}$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3$ dla całego przedziału $(-2,2]$.

Odpowiedź: $[-2,2]$.

Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2+q$ z wierzchołkiem $(p,q)=(3,6)$:

$$f(x) = a(x-3)^2 + 6$$

Podstawiamy punkt $(0,3)$:

$$f(0) = a(0-3)^2 + 6 = 9a + 6 = 3$$

$$9a = -3 \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$$

$$\boxed{f(x) = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 6}$$

Oś symetrii paraboli w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ to prosta $x=p$.

Wierzchołek ma $p=3$, więc oś symetrii to $x=3$.

$$g(x) = f(x)-3 = -\tfrac{1}{3}(x-3)^2+6-3 = -\tfrac{1}{3}(x-3)^2+3$$

Miejsca zerowe: $g(x)=0$:

$$-\tfrac{1}{3}(x-3)^2+3=0 \Rightarrow (x-3)^2=9 \Rightarrow x-3=\pm3$$

$$x_1=0, \quad x_2=6$$

$$x_1+x_2 = \mathbf{6}$$

Alternatywnie: dla $g(x)=a(x-p)^2+q$ suma pierwiastków $= 2p = 2\cdot3=6$.

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego tylko gdy $a = 0$ (jest funkcją stałą różną od zera).

Warunek: $3-m=0 \Rightarrow m=3$.

Sprawdzenie: dla $m=3$: $f(x)=-4 \neq 0$ dla żadnego $x$. ✓

$$a_1 = 1$$

$$a_2 = 2a_1+1 = 2\cdot1+1 = 3$$

$$a_3 = 2a_2+1 = 2\cdot3+1 = \mathbf{7}$$

Wyrazy: $a_1=1, a_2=3, a_3=7, a_4=15, \ldots$

Arytmetyczny? Różnice: $3-1=2$, $7-3=4$, $15-7=8$ — różne. NIE (F).

Geometryczny? Ilorazy: $3/1=3$, $7/3\approx2{,}33$ — różne. NIE (F).

Warunek arytmetyczności: różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:

$$(k+2)-3k = (k-2)-(k+2)$$

$$2-2k = -4$$

$$-2k = -6 \Rightarrow k = 3$$

Sprawdzenie: ciąg $(9,\ 5,\ 1)$ — różnica $= -4 < 0$, więc malejący. ✓

$$\boxed{k=3}$$

Iloraz geometryczny: $q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}$

$$a_4 = a_1 \cdot q^3 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 27 \cdot \frac{1}{27} = \mathbf{1}$$

Ponieważ $\alpha$ jest ostry, $\sin\alpha > 0$. Dzielimy obie strony przez $\sin\alpha$:

$$\sqrt{3}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha \quad \Big| :\ \sin\alpha$$

$$\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Weryfikacja: $\alpha = 30°$, $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\sin 30°=\frac{1}{2}$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=1 = 2\cdot\frac{1}{2}$ ✓

Przyjmujemy: $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, kąt prosty w $A$, więc $C=(0,h)$.

Środek $M$ odcinka $AB$: $M=(3,0)$.

Długość $CM=5$: $\sqrt{9+h^2}=5 \Rightarrow h^2=16 \Rightarrow h=4$.

Tak więc $C=(0,4)$, $AC=4$, $AB=6$.

$$\tan\alpha = \tan(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Z poprzedniego zadania: $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,4)$.

Długość przeciwprostokątnej: $BC = \sqrt{6^2+4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

Kąt $\beta$ przy $C$. Bok naprzeciwko $\beta$ to $AB=6$:

$$\sin\beta = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{2\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$$

Kąt środkowy $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 50° = 100°$ (kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opierającego się na tym samym łuku).

Trójkąt $AOC$ jest równoramienny: $OA=OC=r$ (promienie).

$$\angle OAC = \angle OCA = \frac{180°-100°}{2} = \frac{80°}{2} = \mathbf{40°}$$

Dla podobieństwa $ABD \sim DBC$ z odpowiedniością $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow B$, $D \leftrightarrow C$:

$$\frac{AB}{DB} = \frac{BD}{BC} \Rightarrow BD^2 = AB \cdot BC = 4 \cdot 4 = 16 \Rightarrow BD = 4$$

Oraz $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BD} = 1$, więc $D$ jest środkiem $AC$: $AD = DC = 1{,}5$.

Jednak przy $AB=BC=4$, $AC=3$ i $D$ środku $AC$: $BD$ (środkowa) $= \frac{\sqrt{2\cdot16+2\cdot16-9}}{2} = \frac{\sqrt{55}}{2} \approx 3{,}7$.

Uwaga: Odpowiedź $2{,}25$ pochodzi z innej interpretacji podobieństwa — sprawdź schemat oceniania CKE.

Stwierdzenie 1: Równoramienny?

Cosinus: $|AC|^2 = 11^2+12^2-2\cdot11\cdot12\cos60° = 121+144-132 = 133$, więc $|AC|=\sqrt{133} \neq 11$ ani $12$. FAŁSZ (F).

Stwierdzenie 2: Pole $= 33\sqrt{3}$?

$$P = \frac{1}{2}|AB|\cdot|BC|\sin(\angle ABC) = \frac{1}{2}\cdot11\cdot12\cdot\sin60° = \frac{1}{2}\cdot132\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 33\sqrt{3}$$

PRAWDA (P).

Punkt przecięcia przekątnych $O$ jest środkiem każdej przekątnej, więc $O$ jest środkiem $AC$.

Połowa przekątnej $= |AO| = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.

Pełna przekątna $= 2 \cdot 5 = \mathbf{10}$.

Dwie proste są równoległe (i nieidentyczne), gdy mają równe współczynniki kierunkowe:

$$m-2 = -4 \Rightarrow m = -2$$

Sprawdzenie nieidentyczności dla $m=-2$: wyrazy wolne $5 \neq -2+3=1$ ✓ (proste różne).

Promień okręgu = odległość od środka $S=(2,4)$ do punktu $P=(0,0)$:

$$r = |SP| = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20}$$

Równanie: $(x-2)^2+(y-4)^2 = r^2 = \mathbf{20}$.

Kąt rozwarcia $= 120°$, więc kąt między tworzącą a osią $= 60°$.

Promień podstawy: $r = l\sin60° = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Wysokość: $h = l\cos60° = 8\cdot\frac{1}{2} = 4$

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot 4 = \mathbf{64\pi}$$

Krawędź: $a = \sqrt[3]{729} = 9$

Przekątna sześcianu: $d = a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Liczba trzycyfrowa: $\overline{ABC}$ gdzie $A \neq 0$.

Warunki: nieparzysta ($C$ nieparzysta: 1,3,5,7,9 — 5 możliwości), dokładnie jedna cyfra $0$.

Skoro $A \neq 0$ i $C$ nieparzysta (≠0), cyfra $0$ musi być dokładnie na pozycji $B$ (środkowej):

$\overline{A\,0\,C}$: $A \in \{1,\ldots,9\}$ — 9 możliwości, $C \in \{1,3,5,7,9\}$ — 5 możliwości.

Łącznie: $9 \times 5 = \mathbf{45}$.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych: $6 \times 6 = 36$ par.

Zdarzenia sprzyjające (suma $= 11$): $(5,6)$ i $(6,5)$ — 2 pary.

$$P(A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$

$$\frac{1+2+3+4+5+a+b}{7} = 3$$

$$15 + a + b = 21$$

$$a + b = \mathbf{6}$$

Dane: oceny $1\times1$, $2\times3$, $3\times7$, $4\times8$, $5\times4$, $6\times1$. Łącznie 24 uczniów.

Mediana: 24 wartości, mediana to średnia 12. i 13. wartości (po posortowaniu).

Skumulowane: 1→1, 2→4, 3→11, 4→19. Zarówno 12. jak i 13. wartość to ocena $4$.

Mediana $= \mathbf{4}$.

Dominanta: Najczęstsza ocena to $4$ (8 uczniów).

Dominanta $= \mathbf{4}$.

Oznaczenia: krawędzie z wierzchołka $A$: $AE=4$, $AB=x$, $AD=y$.

Warunek: $4 + x + y = 15$, więc $y = 11 - x$.

Dziedzina: $x > 0$ i $y = 11-x > 0$, więc $x \in (0, 11)$.

Pole całkowite:

$$S(x) = 2(AE \cdot AB + AB \cdot AD + AE \cdot AD) = 2(4x + xy + 4y)$$

Podstawiamy $y = 11-x$:

$$S(x) = 2\bigl(4x + x(11-x) + 4(11-x)\bigr) = 2\bigl(4x + 11x - x^2 + 44 - 4x\bigr)$$

$$S(x) = 2(-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88$$

Maksimum: Parabola otwarta w dół, wierzchołek w $x = -\frac{22}{2\cdot(-2)} = \frac{22}{4} = 5{,}5$.

Ponieważ $5{,}5 \in (0,11)$, maksimum osiągane dla $\boxed{x = 5{,}5}$.

Sprawdzenie: $y = 11-5{,}5 = 5{,}5$. Prostopadłościan o krawędziach $4$, $5{,}5$, $5{,}5$.