Zadanie 7 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2011 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Kąt między danymi bokami.

Ze wzoru na pole trójkąta:

\(P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|AB|\cdot\sin\alpha\), gdzie \(\alpha=|\angle BAC|\)

\(10\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin\alpha=20\sin\alpha\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Trójkąt jest ostrokątny, więc \(\alpha=60^\circ\) i \(\cos\alpha=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Trzeci bok.

Z twierdzenia cosinusów:

\(|BC|^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{1}{2}=25+64-40=49\)

\(|BC|=7\)

Sprawdzenie ostrokątności: najdłuższy bok \(8\), a \(8^2=64\lt 5^2+7^2=74\) ✓

Krok 3. Twierdzenie sinusów.

\(\frac{|BC|}{\sin\alpha}=2R\)

\(2R=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}\)

\(R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\)

Odpowiedź: \(R=\frac{7\sqrt{3}}{3}\)