Zadanie 9 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2021 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Postać punktu \(P\).

Punkt leży na prostej \(y=x+4\), więc \(P=(p,\;p+4)\).

Krok 2. Obie odległości.

\(d(P,k)=\frac{|p-2(p+4)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{|-p-8|}{\sqrt{5}}=\frac{|p+8|}{\sqrt{5}}\)

\(d(P,l)=\frac{|2p+(p+4)-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|3p+3|}{\sqrt{5}}\)

Krok 3. Równanie z warunku zadania.

\(\frac{|p+8|}{\sqrt{5}}=2\cdot\frac{|3p+3|}{\sqrt{5}}\)

\(|p+8|=|6p+6|\)

Stąd \(p+8=6p+6\) albo \(p+8=-(6p+6)\):

\(5p=2\Rightarrow p=\frac{2}{5}\)

\(7p=-14\Rightarrow p=-2\)

Krok 4. Współrzędne punktu \(P\).

Dla \(p=-2\): \(P=(-2,2)\)

Dla \(p=\frac{2}{5}\): \(P=\left(\frac{2}{5},\frac{22}{5}\right)\)

Sprawdzenie dla \(P=(-2,2)\): \(d(P,k)=\frac{6}{\sqrt{5}}\), \(d(P,l)=\frac{3}{\sqrt{5}}\) ✓

Odpowiedź: \(P=(-2,2)\) lub \(P=\left(\frac{2}{5},\frac{22}{5}\right)\)