Zadanie 6 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2011 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Postać wielomianu.

Przypuśćmy, że taki wielomian istnieje:

\(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), gdzie \(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\) oraz \(a\neq 0\)

Krok 2. Obliczenie wartości.

\(W(2)=8a+4b+2c+d=3\)

\(W(-2)=-8a+4b-2c+d=2\)

Krok 3. Odejmowanie stronami.

\(W(2)-W(-2)=16a+4c=3-2=1\)

\(4(4a+c)=1\)

Krok 4. Sprzeczność.

Lewa strona jest liczbą podzielną przez \(4\) (bo \(4a+c\) jest liczbą całkowitą), a prawa strona jest równa \(1\), czyli nie jest podzielna przez \(4\).

Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem taki wielomian nie istnieje. \(\blacksquare\)