Zadanie 5 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2011 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Twierdzenie cosinusów.

Dla kąta \(\alpha\) (naprzeciw boku \(a\)):

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\Rightarrow b^2+c^2-a^2=2bc\cos\alpha\)

Dla kąta \(\beta\) (naprzeciw boku \(b\)):

\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\Rightarrow a^2+c^2-b^2=2ac\cos\beta\)

Krok 2. Iloraz.

\(\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+c^2-b^2}=\frac{2bc\cos\alpha}{2ac\cos\beta}=\frac{b\cos\alpha}{a\cos\beta}\)

(mianownik jest różny od zera, bo trójkąt jest ostrokątny, więc \(\cos\beta\gt 0\))

Krok 3. Twierdzenie sinusów.

\(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\)

Krok 4. Zakończenie.

\(\frac{b\cos\alpha}{a\cos\beta}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}=\frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}\)

co należało wykazać. \(\blacksquare\)