📄 Treść zadania
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\).
Krok 1. Zapisanie liczb naturalnych parzystych za pomocą wyrażeń algebraicznych.
Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako \(n\).
Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako \(2n\).
W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą:
$$2n;\quad2n+2;\quad2n+4$$
Krok 2. Obliczenie sześcianu każdej z kolejnych liczb.
Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb:
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem:
$$(2n)^3=8n^3$$
$$(2n+2)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot2+3\cdot2n\cdot2^2+2^3=$$
$$=8n^3+24n^2+24n+8$$
$$(2n+4)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot4+3\cdot2n\cdot4^2+4^3=$$
$$=8n^3+48n^2+96n+64$$
Krok 3. Zsumowanie trzech wyników i wyłączenie całości przed nawias.
Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa:
$$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8n^3+48n^2+96n+64=$$
$$=24n^3+72n^2+120n+72=$$
$$=24(n^3+3n^2+5n+3)$$
Wyłączając przed nawias liczbę \(24\) udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez \(24\).