Zadanie 8 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2017 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(\gamma\).

Z sumy kątów w trójkącie: \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\). Podstawiając \(\alpha+\beta=2\gamma\):

\(2\gamma+\gamma=180^\circ\Rightarrow\gamma=60^\circ\)

Stąd \(\alpha+\beta=120^\circ\).

Krok 2. Kąt \(ASB\).

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu wpisanego, więc \(AS\) i \(BS\) są dwusiecznymi kątów \(\alpha\) i \(\beta\). W trójkącie \(ABS\):

\(|\angle ASB|=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=180^\circ-60^\circ=120^\circ\)

Krok 3. Kąt czworokąta przy wierzchołku \(S\).

Kąt \(DSE\) (kąt czworokąta \(DCES\) przy wierzchołku \(S\)) i kąt \(ASB\) są kątami wierzchołkowymi, więc:

\(|\angle DSE|=|\angle ASB|=120^\circ\)

Krok 4. Warunek wpisania czworokąta w okrąg.

W czworokącie \(DCES\) kąty przy wierzchołkach \(C\) i \(S\) są przeciwległe:

\(|\angle DCE|+|\angle DSE|=\gamma+120^\circ=60^\circ+120^\circ=180^\circ\)

Suma miar przeciwległych kątów czworokąta jest równa \(180^\circ\), a to oznacza, że na czworokącie \(DCES\) można opisać okrąg. \(\blacksquare\)