Zadanie 7 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2017 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Odpowiednie pogrupowanie składników.

Rozbijamy \(5x^2\) na \(4x^2+x^2\):

\(5x^2+y^2-4xy+6x+9=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(x^2+6x+9\right)\)

Krok 2. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia.

\(4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2\)

\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)

Zatem:

\(5x^2+y^2-4xy+6x+9=(2x-y)^2+(x+3)^2\)

Krok 3. Wniosek.

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma \((2x-y)^2+(x+3)^2\) jest nieujemna dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).

Tym samym dana nierówność jest prawdziwa. \(\blacksquare\)

Uwaga: równość zachodzi tylko dla \(x=-3\) i \(y=-6\).