Zadanie 9 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Położenie prostej \(AB\) względem okręgu.

Z równania okręgu: środek \(S=(1,2)\), promień \(r=5\).

Odległość środka od prostej \(4x-3y+2=0\):

\(d=\frac{|4\cdot 1-3\cdot 2+2|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|4-6+2|}{5}=0\)

Prosta przechodzi przez środek okręgu, więc cięciwa \(AB\) jest średnicą:

\(|AB|=2r=10\)

Krok 2. Podział boku \(AB\).

Z warunku \(|AD|=4|DB|\) oraz \(|AD|+|DB|=10\):

\(4|DB|+|DB|=10\Rightarrow|DB|=2\), \(\;|AD|=8\)

Krok 3. Wysokość \(CD\).

Kąt \(ACB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc jest prosty. W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną spełnia zależność:

\(|CD|^2=|AD|\cdot|DB|=8\cdot 2=16\)

\(|CD|=4\)

Krok 4. Pole trójkąta.

\(P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|CD|=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20\)

Odpowiedź: \(P=20\)