Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji.
Korzystamy ze wzoru redukcyjnego \(\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\):
\(\sin(5x)=-\cos x=-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\)
Krok 2. Równanie \(\sin\alpha=\sin\beta\).
Zachodzi ono, gdy \(\alpha=\beta+2k\pi\) albo \(\alpha=\pi-\beta+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Przypadek A:
\(5x=x-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)
\(4x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)
\(x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\)
Przypadek B:
\(5x=\pi-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2k\pi\)
\(6x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)
\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{3}\)
Krok 3. Wybór rozwiązań z przedziału \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
Z przypadku A: \(k=0\Rightarrow x=-\frac{\pi}{8}\); \(\;k=1\Rightarrow x=\frac{3\pi}{8}\). (Dla \(k=-1\) otrzymujemy \(-\frac{5\pi}{8}\lt-\frac{\pi}{2}\), dla \(k=2\) — \(\frac{7\pi}{8}\gt\frac{\pi}{2}\).)
Z przypadku B: \(k=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\); \(\;k=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{12}\); \(\;k=-2\Rightarrow x=-\frac{5\pi}{12}\). (Dla \(k=1\) mamy \(\frac{7\pi}{12}\gt\frac{\pi}{2}\), dla \(k=-3\) — \(-\frac{3\pi}{4}\lt-\frac{\pi}{2}\).)
Odpowiedź: \(x=-\frac{5\pi}{12}\), \(x=-\frac{\pi}{8}\), \(x=-\frac{\pi}{12}\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{3\pi}{8}\)