Krok 1. Sprowadzenie do jednego argumentu. Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta, traktując $6x$ jako podwojone $3x$:
$$\sin 6x=2\sin 3x\cos 3x.$$
Równanie przyjmuje postać
$$2\sin 3x\cos 3x+\cos 3x=2\sin 3x+1.$$
Krok 2. Grupowanie. Po lewej stronie wyłączamy $\cos 3x$:
$$\cos 3x\left(2\sin 3x+1\right)=2\sin 3x+1.$$
$$\cos 3x\left(2\sin 3x+1\right)-\left(2\sin 3x+1\right)=0,$$
$$\left(2\sin 3x+1\right)\left(\cos 3x-1\right)=0.$$
Krok 3. Pierwszy czynnik: $\cos 3x=1$.
$$3x=2k\pi\ \Longrightarrow\ x=\frac{2k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.$$
W przedziale $\langle0,\pi\rangle$ otrzymujemy $x=0$ oraz $x=\frac{2\pi}{3}$ (kolejna wartość $\frac{4\pi}{3}$ jest już poza przedziałem).
Krok 4. Drugi czynnik: $\sin 3x=-\frac12$. Dla $x\in\langle0,\pi\rangle$ mamy $3x\in\langle0,3\pi\rangle$. W tym przedziale sinus jest ujemny tylko na $(\pi,2\pi)$, a $\sin\theta=-\frac12$ zachodzi dla
$$3x=\frac{7\pi}{6}\qquad\text{lub}\qquad 3x=\frac{11\pi}{6}.$$
$$x=\frac{7\pi}{18}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{11\pi}{18}.$$
Sprawdzenie dla $x=\frac{7\pi}{18}$: $\sin\frac{7\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$, więc lewa strona $=0$; prawa $=2\cdot\left(-\frac12\right)+1=0$ ✓
Odpowiedź: $x\in\left\{0,\ \frac{7\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{2\pi}{3}\right\}$