Krok 1. Pozostałe wierzchołki równoległoboku.
Punkt \(M\) jest środkiem obu przekątnych, więc:
\(B=2M-D=(-9+13,\;2-9)=(4,-7)\)
\(C=2M-A=(-9+8,\;2+1)=(-1,3)\)
Krok 2. Równania prostych \(AB\) i \(BC\).
Prosta \(AB\) przez \(A=(-8,-1)\) i \(B=(4,-7)\):
\(a=\frac{-7+1}{4+8}=-\frac{1}{2}\), \(\;y=-\frac{1}{2}x-5\), czyli \(x+2y+10=0\)
Prosta \(BC\) przez \(B=(4,-7)\) i \(C=(-1,3)\):
\(a=\frac{3+7}{-1-4}=-2\), \(\;y=-2x+1\), czyli \(2x+y-1=0\)
Krok 3. Środek okręgu leży na dwusiecznej kąta.
Środek \(S=(p,q)\) jest równo oddalony od obu prostych:
\(\frac{|p+2q+10|}{\sqrt{5}}=\frac{|2p+q-1|}{\sqrt{5}}\)
Rozpatrujemy dwusieczną \(p+2q+10=-(2p+q-1)\):
\(3p+3q+9=0\), czyli \(q=-p-3\) (prosta \(y=-x-3\))
Krok 4. Warunek przechodzenia przez początek układu.
Promień jest równy odległości środka od prostej \(AB\) oraz od punktu \((0,0)\):
\(r=\frac{|p+2(-p-3)+10|}{\sqrt{5}}=\frac{|4-p|}{\sqrt{5}}\)
\(r^2=p^2+(p+3)^2\)
Stąd:
\(5\left[p^2+(p+3)^2\right]=(p-4)^2\)
\(5\left(2p^2+6p+9\right)=p^2-8p+16\)
\(10p^2+30p+45=p^2-8p+16\)
\(9p^2+38p+29=0\)
\(\Delta=1444-1044=400\), \(\;\sqrt{\Delta}=20\)
\(p_1=\frac{-38-20}{18}=-\frac{29}{9}\), \(\;p_2=\frac{-38+20}{18}=-1\)
Krok 5. Wybór rozwiązania.
Dla \(p=-\frac{29}{9}\) mamy \(q=\frac{29}{9}-3=\frac{2}{9}\gt 0\) — odrzucamy (druga współrzędna ma być ujemna).
Dla \(p=-1\) mamy \(q=-2\lt 0\) ✓, więc \(S=(-1,-2)\) oraz:
\(r^2=(-1)^2+(-2)^2=5\)
Sprawdzenie: odległość \(S\) od prostej \(x+2y+10=0\) wynosi \(\frac{|-1-4+10|}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) ✓
Odpowiedź: \(\mathcal{O}:\;(x+1)^2+(y+2)^2=5\)