Krok 1. Sprawdzenie położenia $A$. Przekątna $AC$ leży na osi symetrii, więc punkt $A$ musi na niej leżeć:
$$30-32+2=0\ \checkmark$$
Krok 2. Wyznaczenie $D$. Oś symetrii przeprowadza czworokąt na siebie, zamieniając miejscami wierzchołki $B$ i $D$. Zatem $D$ jest obrazem $B=(0,8)$ w symetrii względem prostej $x-y+2=0$.
Wstawiamy współrzędne $B$ do lewej strony równania prostej:
$$0-8+2=-6.$$
Wektor normalny prostej to $[1,-1]$, a jego kwadrat długości wynosi $2$, więc
$$D=B-2\cdot\frac{-6}{2}\cdot[1,-1]=(0,8)+6\cdot[1,-1]=(6,\ 2).$$
Kontrola: środek odcinka $BD$ to $(3,5)$ i leży na osi ($3-5+2=0$ ✓), a wektor $\vec{BD}=[6,-6]$ jest prostopadły do kierunku osi $[1,1]$ ✓
Krok 3. Środek okręgu opisanego. Skoro $B$ i $D$ są symetryczne względem prostej $AC$, to prosta ta jest symetralną odcinka $BD$, a więc środek okręgu opisanego leży właśnie na niej. Zapiszmy go jako $O=(t,\ t+2)$.
Z warunku $|OA|=|OB|$:
$$(t-30)^{2}+(t+2-32)^{2}=t^{2}+(t+2-8)^{2},$$
$$2(t-30)^{2}=t^{2}+(t-6)^{2},$$
$$2t^{2}-120t+1800=2t^{2}-12t+36\ \Longrightarrow\ 1764=108t\ \Longrightarrow\ t=\frac{49}{3}.$$
$$O=\left(\frac{49}{3},\ \frac{55}{3}\right),\qquad r^{2}=|OA|^{2}=2\left(\frac{41}{3}\right)^{2}=\frac{3362}{9}.$$
Krok 4. Wyznaczenie $C$. Punkt $C$ leży na osi, więc ma postać $(s,\ s+2)$, i leży na okręgu:
$$\left(s-\frac{49}{3}\right)^{2}+\left(s+2-\frac{55}{3}\right)^{2}=\frac{3362}{9}.$$
Oba nawiasy są równe, więc
$$2\left(s-\frac{49}{3}\right)^{2}=\frac{3362}{9}\ \Longrightarrow\ \left(s-\frac{49}{3}\right)^{2}=\frac{1681}{9}\ \Longrightarrow\ s-\frac{49}{3}=\pm\frac{41}{3}.$$
$$s=30\ (\text{to punkt }A)\qquad\text{lub}\qquad s=\frac{8}{3}.$$
$$C=\left(\frac{8}{3},\ \frac{14}{3}\right).$$
Sprawdzenie. Wszystkie cztery wierzchołki leżą na okręgu o środku $O$ i $r^{2}=\frac{3362}{9}$. Ponadto $|AB|=|AD|=\sqrt{1476}$ oraz $|CB|=|CD|=\frac{\sqrt{164}}{3}$ — czworokąt jest deltoidem, co zgadza się z informacją, że ma jedyną oś symetrii ✓
Odpowiedź: $C=\left(\frac{8}{3},\frac{14}{3}\right)$, $\;D=(6,2)$