Zadanie 5 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2025 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Warunek istnienia dwóch różnych rozwiązań.

\(\Delta=(2m)^2-4(2m-1)=4m^2-8m+4=4(m-1)^2\)

\(\Delta\gt 0\iff (m-1)^2\gt 0\iff m\neq 1\)

Krok 2. Wzory Viète’a.

\(x_1+x_2=-2m\), \(\;x_1\cdot x_2=2m-1\)

\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4m^2-2(2m-1)=4m^2-4m+2\)

Krok 3. Równanie z jedną niewiadomą.

\(m\left(4m^2-4m+2\right)=3m(2m-1)+2\)

\(4m^3-4m^2+2m=6m^2-3m+2\)

\(4m^3-10m^2+5m-2=0\)

Krok 4. Rozwiązanie równania sześciennego.

Sprawdzamy \(m=2\): \(4\cdot 8-10\cdot 4+5\cdot 2-2=32-40+10-2=0\) ✓

Dzielimy wielomian przez \((m-2)\):

\(4m^3-10m^2+5m-2=(m-2)\left(4m^2-2m+1\right)\)

Dla czynnika kwadratowego: \(\Delta=(-2)^2-4\cdot 4\cdot 1=4-16=-12\lt 0\), więc nie ma on pierwiastków rzeczywistych.

Krok 5. Sprawdzenie warunku z kroku 1.

\(m=2\neq 1\), więc \(\Delta\gt 0\) i równanie ma dwa różne rozwiązania.

Odpowiedź: \(m=2\)